第七讲容斥定理1两集合容斥定理如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。（A∪B=A+B-A∩B)2三集合容斥定理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C教学重点：两集合容斥定理找对ABA∪BA∩B教学难点：三集合容斥定理例1.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人.答案45解析：依题意，被计数的事物懂英语的教师和懂俄语的教师有两类，懂英语的教师称为“A类元素”，懂俄语的教师称为“B类元素”，设懂俄语的教师为x人A∪B=A+B-A∩B=75+x-20=100X=45例2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米.答案67解析:依题意，被计数的事物长方形的面积与正方形的面积有两类，长方形的面积称为“A类元素”，正方形的面积称为“B类元素”，A∪B=A+B-A∩B=6×8+5×5-4×3×1/2=6786543例3.求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。答案13解析：依题意，被计数的事物不超过20的正整数中是2的倍数与不超过20的正整数中是3的倍数有两类，不超过20的正整数中是2的倍数称为“A类元素”，不超过20的正整数中是3的倍数称为“B类元素”，A=20÷2=10B=20÷3=6……2A∩B=20÷6=3……2A∪B=A+B-A∩B=10+6-3=13例4.一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？答案8解析：依题意，被计数的事物有参加合唱队，美术组两类，参加合唱队”称为“A类元素”，“参加美术组”称为“B类元素”，A∪B=A+B-A∩B=30+25-x=42-5X=8例5.某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：短跑游泳投掷短跑、游泳短跑、投掷游泳、投掷短跑、游泳、投掷1718156652求这个班的学生共有多少人？答案35解析：依题意，记A类元素为：短跑达优秀。B类元素为：游泳达优秀。C类元素为：投掷达优秀。A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=17+18+15-6-6-5+2=35例6某校六⑴班...
