学霸网https://www.xue-ba.org收集整理第1页共4页学霸网https://www.xue-ba.org收集整理第7讲导数的应用问题函数的单调性、极值、最值问题例8已知函数f(x)＝(x∈R)，其中a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值．审题破题(1)直接求f′(x)，得f′(2)后写出切线方程；(2)求导函数f′(x)后要对a进行讨论，可以列表观察函数f(x)的单调性，极值．解(1)当a＝1时，f(x)＝，f(2)＝，又f′(x)＝＝，f′(2)＝－.所以，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－＝－(x－2)，即6x＋25y－32＝0.(2)f′(x)＝＝.由于a≠0，以下分两种情况讨论．①当a＞0，令f′(x)＝0，得到x1＝－，x2＝a.当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－)－(－，a)a(a，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值所以f(x)在区间，(a，＋∞)内为减函数，在区间内为增函数．函数f(x)在x1＝－处取得极小值f，且f＝－a2.函数f(x)在x2＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1.②当a＜0时，令f′(x)＝0，得到x1＝a，x2＝－，当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：x(－∞，a)a(a，－)－(－，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)在区间(－∞，a)，内为增函数，在区间内为减函数．函数f(x)在x1＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1.函数f(x)在x2＝－处取得极小值f(－)，学霸网https://www.xue-ba.org收集整理第2页共4页学霸网https://www.xue-ba.org收集整理且f＝－a2.综上，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(－，a)，单调递减区间为(－∞，－)，(a，＋∞)，极大值为1，极小值为－a2.当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(－，＋∞)，单调递减区间为(a，－)，极大值为1，极小值为－a2.构建答题模板第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R.第二步：求f(x)的导数f′(x)．第三步：求方程f′(x)＝0的根．第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格．第五步：由f′(x)在开区间内的正、负值判断f(x)在开区间内的单调性．第六步：明确规范地表述结论．第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题中f′(x)＝0的根为x1＝－，x2＝a.要确定x1，x2的大小，就必须对a的正、负进行分类讨论．这就是本题的关键点和易错点．跟踪训练8已知函数f(x)＝alnx＋＋x(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数...
