中值定理题等式证明题型题法大全http://bbs.qinjing.cc1中值定理等式证明题型题法大全收藏版1．设函数()fx在[)0,+¥上连续，且()()101,lim02xfxfxdxx®+¥<-=ò，求证：存在()0,xÎ+¥，使得()0fxx+=。【解】设()()Fxfxx=+，于是()()()()()11100010,limlim01102xxFxfxxFxdxfxxdxfxdxxx®+¥®+¥+=+=+<==+=>éùëûòòò根据零值定理：存在()0,xÎ+¥，使得()()00Ffxxx=Þ+=。2．设()fx在[]0,1上连续，且()()1000ffxdx==ò，求证：存在()01xÎ，，使得()()0ffxdxxxx=ò。【解】因为()()()200,0xxftdtxfxftdtxxx¢éùêú-=×¹êúêúëûòò，设()()0,00,0xftdtxFxxxìï¹=íï=îò，因为()()()()00limlim0001xxfxFxfF®®====，故()Fx()fx在[]0,1上连续，在()0,1上可导，且()()()101001ftdtFF===ò，根据罗尔定理存在()0,1xÎ，使得()()()00Fffxdxxxxx¢=Û=ò。3．设()fx在[],ab上连续，在()ab，上可导，且()0,0faa=>，求证：存在()abxÎ，，使得()()bffaxxx-¢=。【解】设()()()aFxbxfx=-4．设()fx在10,2éùêúëû上二阶可导，且()()1000,02fffæö¢===ç÷èø，求证：存在102xæöÎç÷èø，，使得()()312ffxxx¢¢¢=-。【解】设()()()()12Fxfxxfx¢=--5、设)(xf在]1,1[-上有连续的二阶导数。求证：存在]1,1[-Îx，使)(''31)('32)(11xxxffdxxxf+=ò-。【解】设ò=xdtttfxF0)()(，则),('')('2)('''),(')()(''),()('xxfxfxFxxfxfxFxxfxF+=+==且中值定理题等式证明题型题法大全http://bbs.qinjing.cc20)0(',0)0(==FF。11221121'''()''(0)(1)(0)'(0),(0,1)26'''()''(0)(1)(0)'(0),(1,0)26'''()'''()'''()21()(1)(1)'()''()6333FFFFFFFFFFFFFxfxdxFFffxxxxxxxxxx-=+++Î-=-+-Î-+Þ=--===+ò其中)1,1(-Îx（介值定理）6、设函数)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，且0)(
cf（),(bacÎ）。求证：存在),(baÎx，使)()('xxff-=。【解】设)()(xfexFx=，则0)(,0)(,0)(<>--=xxxxxxxxxxxxxffffebaFbccbcFbFFcaacaFcFF7、设)(xf在)4,0(内二阶可导，且2)4(,1)1(,0)0(===fff。求证：存在)4,0(Îx，使得31)(''-=xf。【解】还原所证明的式子：baxxxfaxxfxf+++Þ++Þ+261)(31)('31)(''baxxxfxF+++=261)()(解方程：0)4(,0)0(==FF，解得：0,67=-=ba，因此设0)4(,0)1(,0)0(,6761)()(2===\-+=FFFxxxfxF0)(''),4,0(),(,0)('),4,1(,0)('),1,...
