第22卷第2期2002年6月宝鸡文理学院学报(自然科学版)JournalofBaojiCollegeofArtsandScience(NaturalScience)Vo1．22No．2JUn．2002黎曼函数的性质及其证明’张丽，刘淳安(宝鸡文理学院数学系．陕西宝鸡721007)摘要：从黎曼函数的简单特征入手讨论它的连续性、可积性、可导性，特别是证明了黎曼函数在区间[0，1]上处处不可导，并结合狄利克雷函数加以引中和推广。关键词：黎曼函数；特征；可导性中图分类号：o174．1文献标识码：A文章编号：1007—1261(2002)02—0125—02PropertiesofRiemannfunctionandtheirprovedZHANGIi，IlUChun—an(Dept．Math．，BaoiiCoil．Arts8LSci．．Baoii721007，Shannxi．China)Abstract：Continuity，integrabilityanddifferentiabmtyofRiemannfunctionarediscussed；espe—eially，thenon—differentiablepropertieson[O，1]areproved，andDiriehlet’Sfunctioniscomparatedwithit．Keywords：Riemannfunction；properties；differentiabilityMSC2000：26A27在数学分析上，有两个无法用解析法、列表法或图象法表示，只能用言语来描述的特殊函数一黎曼(Riemann)函数和狄利克雷(Dirichlet)函数。现在，我们讨论黎曼函数的简单性质，及其与狄利克雷函数的区别。1黎曼函数的定义及简单特征定义称定义在区间[0，1]上的函数尺()=．』，当一号(户，q为正整数，q为既约真分数)【0，当z=0，1和无理数为黎曼函数。从黎曼函数的定义可知，黎曼函数的值域是集合E={0，1，1，1，⋯，去，⋯}，其中户是大于等于2的正整数，因此，黎曼函数的第一个简单特征是：(1)黎曼函数是区间[0，1]上的有界函数，其上确界是1／2，下确界是0，其值域只有一个，聚点是0，它也是数列{1／p}的极限点，其中P为自然数。其次，对任何自然数P>1，使得∈(o，1)的有理数只有1，2，⋯，，由定义要求，P，q互质，所以这种数最多(户一1)个，而它们所对应的函数值却都是，即尺‘一言‘=1，2，⋯，P一1)。因为古与(显然与P互质时，P—与P亦互质)关于直线。一1／2对称，故黎曼函数的第2个简单特征是(I)黎曼函数在有理点的图象(见图1)关于直线z。一1／2对称。又由其值域E可看出，当P(自然数)变大时，1／p—R(q／P)(q／P∈(O，1))在变小且以0为其极限，因而R()的最大值为1／2。所以对Ve>0(c<1／2)，使得R()尺(q／P)一1／户>e的区间(0，1)中的有理数只有有限个，即P只能在2≤P≤[1／c-1中取值，因而黎曼函数的第3个简单特征是：·收藕t3期：2001一l2—06作者简介：张...
