江苏省高等数学竞赛练习题（一）（0405年考研题）答案1、设函数222(,,)161218xyzuxyz=+++,单位向量1{1,1,1}3=n�,则(1,2,3)un∂∂=____33____.2、3012coslim13xxxx→⎡⎤+⎛⎞−⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦=__16−__.3、1022d(2)1xxxx=−−∫__4π__，12d1xxx+∞=−∫__2π__.4、当0x→时，2()xkxα=与()1arcsincosxxxxβ=+−是等价无穷小，则k=__34__.5、曲线()yyx=由参数方程22,ln(1)xttyt⎧=+⎨=+⎩确定，则其在3x=处的法线与x轴交点的横坐标是1ln238+.6、设22{(,)4,0,0}Dxyxyxy=+≤≥≥，()0fx>连续，,ab为常数，则()()d()()Dafxbfyfxfyσ+=+∫∫2abπ+.7、22212limln(1)(1)(1)nnnnnn→∞+++�=________102lnd2xx=−∫______________________.8、设22{(,)2,0,0}Dxyxyxy=+≤≥≥，22[1]xy++表示不超过221xy++的最大整数.计算二重积分22[1]dd.Dxyxyxy++∫∫解：令221{(,)01,0,0}Dxyxyxy=≤+<≥≥，222{(,)12,0,0}Dxyxyxy=≤+≤≥≥.则22[1]ddDxyxyxy++∫∫=12dd2ddDDxyxyxyxy+∫∫∫∫1233220001sincosdd2sincosddrrrrππθθθθθθ=+∫∫∫∫113848=+=.9、求幂级数1211(1)(1)(21)nnnxnn∞−=−+−∑的收敛区间与和函数()fx.解：因为(1)(21)1(21)lim1(1)(21)(21)1nnnnnnnnn→∞+++−=++−+i，所以当21x<时，原级数绝对收敛，当21x>时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记121(1)(),(1,1)2(21)nnnSxxxnn−∞=−=∈−−∑，则1211(1)(),(1,1)21nnnSxxxn−∞−=−′=∈−−∑，122211()(1),(1,1)1nnnSxxxx∞−−=′′=−=∈−+∑.由于(0)0,(0)0,SS′==所以2001()()ddarctan,1xxSxStttxt′′′===+∫∫2001()()darctandarctanln(1).2xxSxSttttxxx′===−+∫∫又21221(1),(1,1),1nnnxxxx∞−=−=∈−+∑从而22()2()1xfxSxx=++2222arctanln(1),(1,1).1xxxxxx=−++∈−+10、设2()sindxxfxttπ+=∫,(I)证明()fx是以π为周期的周期函数;(II)求()fx的值域.解：(I)()32sindxxfxttπππ+++=∫,设tuπ=+,则有()()()22sindsindxxxxfxuuuufxππππ+++=+==∫∫,故()fx是以π为周期的周期函数.(II)因为sinx在(),−∞+∞上连续且周期为π,故只需在[]0,π上讨论其值域.因为()sinsincossin2fxxxxxπ⎛⎞′=+−=−⎜⎟⎝⎠,令()0fx′=,得123,44xxππ==,且344sind24fttπππ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠∫,554433443sindsindsind224fttttttπππππππ⎛⎞==−=−⎜⎟⎝⎠∫∫∫,又()200sind1fttπ==∫,()32sind1fttπππ=−=∫,()fx的最小值是22−,最...
