!!第一章实数集与函数内容提要!一!实数!"实数包括有理数和无理数!有理数可用分数"#!""#为互质整数##"#$表示#也可用有限十进小数或无限十进循环小数表示!!$是首先遇到的无理数#它与古希腊时期所发现的不可公度线段理论有直接联系#且可以表示为无限十进不循环小数!实数的无限十进小数表示在人类实践活动中被普遍采用#我们是由无限十进小数表示出发来阐述实数理论的!$"若$%%#%%!%$&%&&为非负实数#称有理数$&%%#%%!%$&%&为实数$的&位不足近似#而有理数$&%$&&!!#&称为$的&位过剩近似#&%##!#$#&!’"在数学分析课程中不等式占有重要的地位#在后继课程中#某些不等式可以成为某个研究方向的基础!数学归纳法是证明某些不等式的重要工具!二!数集"确界原理!"邻域是数学分析中重要的基本概念!某点的邻域是与该点靠近的数的集合#它是描述极限概念的基本工具!在无限区间记号!()#%’#!()#%$#(%#&)$#!%#&)$#!()#&)$中出现的()与&)仅是常用的记号#它们并不表示具体的数!在数学分析课程范围内#不要把&)#()#)当作数来运算!%!%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$$"有界集和无界集是本章中关键的概念!要熟练掌握验证某个数集’是有界集或无界集的方法#其中重要的是证明数(不是数集’的上界!或下界$的方法!’"确界是数学分析的基础严格化中的重要的概念!上!下$确界是最大!小$数在无限数集情况下的推广!确界概念有两种等价的叙述方法#以上确界为例)设’是)中一个数集#若数!满足!!$!!$对一切$#’#有$$!#则!是’的上界*!"$对任意"%!#存在$##’#使得$#&"#则!又是’的最小上界’()!或!$$!!$对一切$#’#有$$!#则!是’的上界*!"$对任意#&##存在$##’#使得$#&!(##则!又是’的最小上界’()!这两种定义是等价的!!$$中的!(#相当于!!$中的"!在上述定义中可以限定#%###其中##为充分小的正数!定义!$$在某些证明题中使用起来更方便些!*"确界原理)设’是非空数集#若’有上界#则’必有上确界*若’有下界#则’必有下确界!确界原理是实数系完备性的几个等价定理中的一个!三!函数及其性质!"邻域!!$*!%#$$%!%($#%&$$称为%的$邻域#其中$&#!!$$*+!%*$$%!%($#%$*!%#%&$$%+$+#%+$(%+%$,称为%的空心$邻域#其中$&#!!’$*+&!%$%!%#%&,$和*+(!%$%!%(,#%$分别称为%的右邻域和左邻域#其中,&#!$"确界设给定数集’!!!$上确界!若存在数!#满足!$!$$!#,$#’*$$,$%!#都存在$##’#使$#&$#则称!为’的上确界#记为!%+,-$#’$!!$$下确界!若存在数%#满足!$$-%#,$#’*$$,&&%#都存在-##’#使-#%&#则称%为’的下确界#记...
