南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系第三章：不定积分与定积分及其应用南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系第一节：不定积分与定积分的概念与性质原函数与不定积分1.在区间I内，若'()()Fxfx=，则称()Fx为()fx在区间I内的原函数.2.原函数存在定理：区间I上的连续函数一定存在原函数.注：（1）具有第一类间断点的函数没有原函数；（2）()fx的任意两个原函数最多相差一个常数.3.在区间I内，函数()fx的带有任意常数项原函数()FxC+称为()fx在区间I内的不定积分，记作()d()fxxFxC=+∫.南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系12222d1(1)d;(2)d(1);(3)ln;(4)darctan;111(5)darcsin;(6)cosdsin;(7)sindcos;1d(8)secdtancosxxkxkxCxxCxCxxCxxxxCxxxCxxxCxxxxxCxμμμμ+=+=+≠−=+=+++=+=+=−+−==+∫∫∫∫∫∫∫∫∫22d;(9)cscdcot;(10)sectandsec;sin(11)csccotdcsc;(12)d;(13)d;(14)sinhdcosh;ln(15)coshdsinh;(16)tandxxxxxxxxCxxxxCxaxxxxCexeCaxCxxxCaxxxCxx==−+=+=−+=+=+=+=+=∫∫∫∫∫∫∫∫222222lncos;(17)cotdlnsin;(18)secdln(sectan);(19)cscdln(csccot);111111(20)darctan;(21)dln;(22)dln22xCxxxCxxxxCxxxxCxxaaxxCxCxCaaaxaaaxaxxaax−+=+=++=−+−+=+=+=++−+−−∫∫∫∫∫∫∫222222;11(23)darcsin;(24)dln().xxCxxxaCaaxxa=+=+±+−±∫∫基本积分表南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系设函数()fx定义在区间[,]ab上，在[,]ab任意插入若干分点0121nnaxxxxxb−=<<<<<=�把区间[,]ab分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx−Δ=−，(1,2,)i=�，在各小区间上任取一点iixξ∈Δ，作乘积()iifxξΔ(1,2,)i=�，并作和1()niiiSfxξ==Δ∑，记12max{,,,}nxxxλ=ΔΔΔ�，如果不论对[,]ab怎样的分法，也不论在小区间1[,]iixx−上点iξ怎样的取法，只要当0λ→时，和S总趋于确定的极限I，我们称()fx在区间[,]ab可积，极限I为函数()fx在区间[,]ab上的定积分，记为()dbafxxI==∫01lim()niiifxλξ→=Δ∑.定积分的概念本节练习P53，第1题(1)-(3)南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系1.函数可积的必要条件：若函数()fx在区间[,]ab上可积，则()fx在区间[,]ab上一定有界；注：区间[,]ab上的有界函数未必可积，例如Dirichlet函数.2.函数可积的充分条件：（1）区间[,]ab上的连续函数一定可积；（2）区间[,]a...
