江苏省高等数学竞赛练习题（三）（0809年考研题）答案1、当0x→时，()sinfxxax=−与()()2ln1gxxbx=−等价无穷小，则11,6ab==−.2、设函数(),fuv具有二阶连续偏导数，(),zfxxy=，则2zxy∂=∂∂_12222xffxyf′′′′′++__.3、已知曲线()2:02Lyxx=≤≤，则dLxs∫=__136__.4、设(){}222,,1xyzxyzΩ=++≤，则2dddzxyzΩ∫∫∫=__415π__.5、设函数20()ln(2)xfxtdt=+∫，则()fx′的零点为______0x=______________.6、函数(,)arctanxfxyy=在点()0,1处的梯度等于__i�或10（，）__.7、曲线sin()ln()xyyxx+−=在点(0,1)的切线方程为_1yx=+___.8、已知幂级数0(2)nnnax∞=+∑在0x=处收敛，在4x=−处发散，则幂级数()03nnnax∞=−∑的收敛域为(1,5].9、设曲面Σ是224zxy=−−的上侧，则2ddddddxyyzxzxxxyΣ++=∫∫__4π__.10、（1）求二元函数()()22,2lnfxyxyyy=++的极值；解：()()2,220xfxyxy′=+=，()2,2ln10yfxyxyy′=++=，故10,xye==.()222xxfy′′=+，212yyfxy′′=+，4xyfxy′′=，则120,122xxefe⎛⎞⎜⎟⎝⎠⎛⎞′′=+⎜⎟⎝⎠，10,0yyef⎛⎞⎜⎟⎝⎠′′=，10,xyefe⎛⎞⎜⎟⎝⎠′′=，0xxf′′> 而()20xyxxyyfff′′′′′′−<，二元函数存在极小值110,fee⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠.（2）计算不定积分1ln(1)dxxx++∫(0)x>.11、设na为曲线nyx=与()11,2,nyxn+==�所围成区域的面积，记122111,nnnnSaSa∞∞−====∑∑，求1S与2S的值.解：由题意，nyx=与1nyx+=在点0x=和1x=处相交，所以()112110011d1212nnnnnxxaxxxnnnn+++⎛⎞=−=−=−⎜⎟++++⎝⎠∫，从而1111111111limlimlim232212212NnnNNNnnSaaNNN∞→∞→∞→∞==⎛⎞⎛⎞===−++−=−=⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠∑∑�22111111111122123456nnnSann∞∞−==⎛⎞==−=−+−++⎜⎟+⎝⎠∑∑�由()()121ln112nnxxxxn−+=−++−+��取1x=得2111ln211234S⎛⎞=−−++=−⎜⎟⎝⎠�，故21ln2S=−.12、椭球面1S是椭圆22143xy+=绕x轴旋转而成，圆锥面2S是过点()4,0且与椭圆22143xy+=相切的直线绕x轴旋转而成.(1)求1S及2S的方程；(2)求1S与2S之间的立体体积.解：(1)1S的方程为222143xyz++=，过点()4,0与22143xy+=的切线为122yx⎛⎞=±−⎜⎟⎝⎠，所以2S的方程为222122yzx⎛⎞+=−⎜⎟⎝⎠.(2)记1122yx⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠，由22143xy+=，记22314xy⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠，则224244221211113dd24d3d44xxVyxyxxxxπππ⎛⎞⎛⎞=−=−+−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫∫∫∫32432111143124xxxxxπππ⎡⎤⎡⎤=−+−−=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.13...
