江苏省高等数学竞赛练习题（二）（0607考研题）答案1、曲线1ln(1)xyex=++的渐近线为___0x=，0y=，yx=____.2、12311xedxx∫=__1212e__，220d(1)xxx+∞=+∫__12____.3、设曲面:1xyzΣ++=，则()dxyS∑+∫∫�=__43.3__.4、设(),fuv为二元可微函数，(,)yxzfxy=，则zx∂∂=___112ln.yxfyxfyy−′′⋅+⋅_____.5、设Σ是锥面22(01)zxyz=+≤≤的下侧，则dd2dd3(1)ddxyzyzxzxyΣ++−=∫∫___2π_____.6、1400d(cos,sin)dfrrrrπθθθ=∫∫_____22120d(,)dyyyfxyx−∫∫______.（化为直角坐标的二次积分）7、已知函数()fu具有二阶导数，且(0)1f′=，函数()yyx=由方程1e1yyx−−=所确定，设()lnsinzfyx=−，求0ddxzx==__0___，202ddxzx==____1____..8、求函数2222(,)2fxyxyxy=+−在区域22{(,)4,0}Dxyxyy=+≤≥上的最大值和最小值.解：因为2(,)22xfxyxxy′=−，2(,)42yfxyyxy′=−，解方程：22220,420xyfxxyfyxy′⎧=−=⎪⎨′=−=⎪⎩得开区域内的可能极值点为(2,1)±.其对应函数值为(2,1)2.f±=又当0y=时，2(,)fxyx=在22x−≤≤上的最大值为4，最小值为0.当224,0,22xyyx+=>−<<，构造拉格朗日函数222222(,,)2(4)Fxyxyxyxyλλ=+−++−，解方程组22222220,4220,40,xyFxxyxFyxyyFxyλλλ′⎧=−+=⎪′=−+=⎨⎪′=+−=⎩得可能极值点：53(0,2),(,)22±，其对应函数值为537(0,2)8,(,).224ff=±=比较函数值72,0,4,8,4，知(),fxy在区域D上的最大值为8，最小值为0.9、证明：当0abπ<<<时，sin2cossin2cosbbbbaaaaππ++>++.证明：令()sin2cossin2cos,0fxxxxxaaaaaxbπππ=++−−−<≤≤<，则()sincos2sincossinfxxxxxxxxππ′=+−+=−+，且()0fπ′=.又()cossincossin0fxxxxxxx′′=−−=−<，（0,sin0xxxπ<<>时），故当0axbπ<≤≤<时，()fx′单调减少，即()()0fxfπ′′>=，则()fx单调增加，于是()()0fbfa>=，即sin2cossin2cosbbbbaaaaππ++>++.10、设函数()(),fxgx在[],ab上连续，在(),ab内具有二阶导数且存在相等的最大值，()()()(),fagafbgb==,证明：存在(,)abξ∈，使得()().fgξξ′′′′=解：构造辅助函数()()()Fxfxgx=−，由题设有F(a)=F(b)=0.又f(x),g(x)在(a,b)内具有相等的最大值,不妨设存在12xx≤,12,(,)xxab∈使得12[,][,]()max(),()max()ababfxMfxgxMgx====，若12xx=，令1cx=,则()0.Fc=若12xx<，因111222()()()0,()()()0FxfxgxFxfxgx=−≥=−≤，从而存在12[,](,)cxxab∈⊂，使()0.Fc=在区间[,],[,]accb上分别利用罗尔定理知，存在12(,),(,)...
