关注微信公众号:kenglaoshi高考冲刺140分压轴题突破精选好题(二十四)第一题.已知函数f(x)=(x2−2𝑥)sin(𝑥−1)+𝑥+1在[−1,3]上的最大值为M,最小值为m,则M+m=()A.4B.2C.1D.0第二题.已知函数f(x)={2𝑥+1,𝑥<0|12𝑥2−2𝑥+1|,𝑥≥0,方程[f(x)]2−𝑎𝑓(𝑥)+𝑏=0(𝑏≠0)有6个不同的实数解,则3a+b的取值范围是()A.[6,11]B.[3,11]C.(6,11)D.(3,11)第三题.已知sin2α−2=2cos2α,则sin2𝛼+𝑠𝑖𝑛2𝛼=_______.关注微信公众号:kenglaoshi第四题.已知点F为椭圆E:x2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>b>0)的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线x4+𝑦2=1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线x4+𝑦2=1与y轴交于P,过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,若λ|PM|2=|𝑃𝐴|∙|𝑃𝐵|,求实数λ的取值范围.第五题.已知函数f(x)=ex−12ax2(x>0,e为自然对数的底数),f′(x)是f(x)的导函数.(1)当a=2时,求证:f(x)>1;(2)是否存在正整数a,使得f′(x)>x2lnx对一切x>0恒成立?若存在,求出a的最大值;若不存在,请说明理由.关注微信公众号:kenglaoshi解析:第一题.注意到f(x)=[(x−1)2−1)]sin(x−1)+x−1+2，令t=x−1,设g(t)=(t2−1)sint+t,则f(x)=g(t)+2,t∈[−2,2],此时g(−t)=((−t)2−1)sin(−t)+(−t)=−(t2−1)sint−t=−g(t),可得函数g(t)是奇函数,则函数g(t)在区间[−2,2]上的最大值和最小值互为相反数,即g(t)max+g(t)min=0且M=g(t)max+2,m=g(t)min+2所以M+m=4.说五毛钱的话:这种题见过一次就会留下印象,主要是单独求解M,m实在太复杂,这个时候可以另辟蹊径,寻求M+m整体能否求解.同时观察题目中的自变量的形式,可以通过t=x−1换元,使得自变量的范围变为[−2,2],关于原点对称.进而得到一部分函数为奇函数,然后进行求解.这种套路可以做个笔记.第二题.首先画出函数f(x)的图象,对于方程[f(x)]2−𝑎𝑓(𝑥)+𝑏=0,可令f(x)=t,那么方程根的个数就是f(x)=t1与f(x)=t2的根的个数之和,结合图象可得,要使总共有6个根,需要一个方程有4个根,另一个方程有2个根.可得方程t2−𝑎𝑡+𝑏=0的两个根分别位于区间(0,1)与(1,2)内,假设g(t)=t2−𝑎𝑡+𝑏,关注微信公众号:kenglaoshi则{𝑔(0)>0𝑔(1)<0𝑔(2)>0,即{𝑏>01−𝑎+𝑏<04−2𝑎+𝑏>0,考察目标函数z=3a+b运用线性规划解题可得z∈(3,11).说五毛钱的话:这道题是大家的老朋友—复合方程求解,秉持着由外而内的原则,换元t=f(x),先确定t的可能取值情况,然后再讨论函数y=f(x)和y=t的相交问题.当然这里分析t1,𝑡2的情况,来凑最终6个根...
