重积分—定积分概念的推广被积函数积分域计算定积分y=f(x)区间[a,b]二重积分z=f(x,y)平面区域D化为二次积分三重积分u=f(x,y,z)空间区域Ω化为三次积分进一步：曲线积分z=f(x,y)平面弧段L化为定积分u=f(x,y,z)空间弧段Γ化为定积分曲面积分u=f(x,y,z)曲面片S化为二重积分问题的提出第一类曲线积分的概念第一类曲线积分的性质第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的几何、物理应用一、问题的提出实例:曲线形构件的质量()(,).xOyABLxyMρ设有一质量非均匀分布的构件，占有平面上一条曲线弧，其线密度为，求该构件的质量oxyABL121,,,niMMMs−→∆，1M2M1−iMiM1−nM1niiMM==∆∑),(iiηξ(,)iiiiMsρξη∆≈∆1(,)niiiisρξη=≈∆∑1max{,,}nssλ=∆∆令01lim(,).niiiiMsλρξη→==∆∑二、第一类曲线积分的概念1.定义(,)LxOyfxyL设为平面上的一条光滑曲线弧，函数在上有界.121,,,niLMMMLnsi−∆在上任意插入，把分成个小弧段，并用表示第个小弧段的长度.(,)(,)iiiiifsξηξη∆在每个小弧段上任取一点，作乘积，1(,).niiiifsξη=∆∑并作和nλ记为个小弧段长度的最大值，0λ→如果当时，该和式的极限存在，积分弧段(,)()fxyL则称此极限为函数在曲线上的第一类曲线积分对弧长的曲线积分或，(,)Lfxyds∫记作，01(,)lim(,).niiiLifxydsfsλξη→==∆∑∫即积分路径被积函数被积表达式弧长元素弧微分积分和式(2)0.ds>弧长元素(3)(,)(,)(,).LiifxydsfxyLLξη∫第一类曲线积分只与被积函数以及积分弧段有关，而与弧段的分法以及点的取法无关(4)(,)(,).LfxyLfxyds∫当在光滑曲线弧上连续时，定义中积分和式的极限一定存在，即第一类曲线积分存在注(1)(,).LLfxyds∫若为闭曲线时，记为3.推广2.物理意义(,).LMxydsρ=∫曲线形构件的质量(,)11.LLfxydsdss===∫∫特别：当时，(,,)fxyzΓ函数在空间曲线弧上的第一类曲线积分为01(,,)lim(,,).niiiiifxyzdsfsλξηζΓ→==∆∑∫三、第一类曲线积分的性质1.线性性：(1)[(,)(,)](,)(,)LLLfxygxydsfxydsgxyds±=±∫∫∫；(2)(,)(,)().LLkfxydskfxydsk=∫∫其中为常数2.对积分弧段的可加性：12(,)(,)(,).LLLfxydsfxydsfxyds=+∫∫∫12()LLL=+L特别在分段光滑的情形.四、第一类曲线积分的计算定理22(,)()()()(),()[,]()()0fxyLABxtLtytttttϕαβψϕψαβϕψ==≤≤=′′+≠设在平面曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在具有一阶连续导数且，则22(,)[(),()]()().Lfxydsfttttdtβα...
