将一元函数定积分的概念推广到多元函数—重积分重积分与定积分的区别在于被积函数中自变量的个数以及积分区域()yfx=积分区域为区间；(,)zfxy=积分区域为平面上一区域；(,,)ufxyz=积分区域为空间一区域.重积分问题的提出二重积分的概念二重积分的性质一、问题的提出1.曲顶柱体的体积xOyD曲顶柱体：以平面上的有界闭区域为底，Dz以的边界为准线而母线平行轴的柱面为侧面，(,)zfxy=以曲面为顶的立体.((,))zfxyD=其中是定义在上的非负连续函数oxyzD(,)zfxy==柱体体积？特点：曲顶=×柱体体积底面积高特点：平顶.现在的问题在于：顶是曲的，“高”在变解决的方法：类似于求曲边梯形面积的方法，“以平代曲”—分割，近似，求和，取极限.Doxyz(,)zfxy=iσ∆12,,,niDniσσσσ∆∆∆∆将区域任意分成个小闭区域，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积，1niiVV==∆∑(,)iiξη(,)iiiiVfξησ∆≈∆1(,)niiiifξησ=≈∆∑01lim(,).niiiiVfλξησ→==∆∑2.平面薄片的质量(,)(,)0.xOyDxyDxyMρρ>设有一质量非均匀分布的薄片，在平面上占有闭区域，其面密度在上连续，且，求该平面薄片的质量xyo将薄片任意分成n小块，1niiMM==∆∑iσ∆将每一小块近似看作均匀薄片，•(,)iiξη(,)iiiiMρξησ∆≈∆11(,)nniiiiiiMMρξησ===∆≈∆∑∑01lim(,).niiiiMλρξησ→==∆∑二、二重积分的概念定义(,)fxyD设函数在有界闭区域上有界，12,,,niDniσσσσ∆∆∆∆将区域任意地分成个小闭区域，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积，(,)(,)(1,2,,)iiiiiifinσξηξησ∆∆=在每个小区域上任取一点，作乘积，1(,)niiiifξησ=∆∑并作和，nλ记为个小闭区域直径的最大值，0λ→如果当时，该和式的极限存在，(,)fxyD则称此极限为函数在二闭区域上的重积分，(,)Dfxydσ∫∫记作，01(,)lim(,).niiiiDfxydfλσξησ→==∆∑∫∫即积分区域被积函数积分变量被积表达式面积元素积分和式注(1)(,)(,)(,).DiifxydfxyDDσξη∫∫二重积分只与被积函数以及积分区域有关，而与区域的分法以及点的取法无关(2)当),(yxf在有界闭区域D上连续时，定义中积分和式的极限一定存在，即),(yxf在D上的二重积分存在，此时也称),(yxf在区域D上可积.(3)(,)(,).DDfxydfxydxdyσ∫∫∫∫在直角坐标系中，二重积分通常也记作二重积分的几何意义(,)0(,)Dfxyfxydσ≥∫∫当，表示曲顶柱体的体积；(,)0(,)Dfxyfxydσ≤∫∫当，表示曲顶柱体体积的相反数；(,)(,)DfxyDf...
