全微分的概念函数可微分的条件一、全微分的概念1.问题的提出在第二章第六节讲过一元函数的微分概念()yAxxο∆=∆+∆若0dyAxx=∆则称为函数在点处的微分dyy∆根据定义：是的线性近似（线性逼近）(1)dyx∆是关于的线性函数；(2)x∆误差为的高阶无穷小.yxodyTy=f(x)αx∆Q微分的几何意义：切线上纵坐标的改变量.0xM0xx+∆y∆PN(,)zfxy=对于有类似的概念—全微分00(,)(,)zfxyxy=函数在点处全增量0000(,)(,)zfxxyyfxy∆=+∆+∆−0000(,)(,)AxyxBxyy≈∆+∆能否表达22()()zAxByxyρ∆−∆−∆=∆+∆使误差是关于的高阶无穷小.2.定义定义10000(,)(,)(,)(,)zfxyxyzfxyxy==设在点的某个邻域内有定义，若在点处的全增量00000000(,)(,)(,)(,)()zfxxyyfxyAxyxBxyyoρ∆=+∆+∆−=∆+∆+可表示成22()()xyρ=∆+∆00(,)(,)zfxyxy=则称在点处可微分，00(,)(,)AxByzfxyxy∆+∆=而称为在点的全微分，0000(,)(,).dzdzAxyxBxyy=∆+∆记作，即定义2(,).zfxyDD=若在区域内每一点都可微，则称函数在内可微二、函数可微分的条件定理10000(,)(,)(,)(,).zfxyxyzfxyxy=⇒=若在点可微在点连续证明(,)(0,0)limxyz∆∆→∆0000(,)(0,0)lim[(,)(,)()]xyAxyxBxyyoρ∆∆→=∆+∆+0.=连续是可微的必要条件.定理2(必要条件)0000(,)(,)(,)(,)zfxyxyzfxyxyzzABxy=⇒=∂∂==∂∂若在点可微在点的两个偏导数都存在，且，，即zzdzxyxy∂∂=∆+∆∂∂证明00(,)(,)zfxyxy=在点处可微，0000(,)(,)dzAxyxBxyy∴=∆+∆，00000(,)(,)yzfxxyfxy∆=∆=+∆−令0yxρ∆==∆当时，，xz=∆()Axoρ=∆+()Axox=∆+∆0limxxzx∆→∆∆0()limxAxoxx∆→∆+∆=∆0()limxoxAx∆→∆=+∆.A=.zBy∂=∂同理可证zzdzxyxy∂∂=∆+∆∂∂zx∂=∂注⇒多元函数全微分存在函数连续，反之未必成立.22221sin(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyfxyxyxy+≠=+=例如，22222210sinxyxyxy≤+≤++，2222(,)(0,0)1limsin0xyxyxy→∴+=+(0,0)f=(0,0)xf0(0,0)(0,0)limxfxfx∆→+∆−=∆2201()sin0()limxxxx∆→∆−∆=∆01limsinxxxx∆→∆=∆∆不存在(0,0)yf同理也不存在，.故不可微注⇒多元函数全微分存在各个偏导数都存在，反之未必成立.22242220(,)00xyxyxyfxyxy+≠+=+=例如，(0,0)xf0(0,0)(0,0)limxfxfx∆→+∆−=∆000lim0xx∆→−==∆(0,0)yf=(,)(0,0)lim(,)xyfxy→但不存在，2()ykxyx==取路径以及(,)(0,0)fxy在不连续，不连续一定不可微，.故不可微(,)zfxy=上面的讨论表明偏导数存在只是可微的必要条件，而...
