以2l为周期的傅里叶级数问题的提出一、问题的提出2()([,][0,]).fxππππ−上一节已讨论周期为的函数展开成傅里叶级数包括定义在，上的函数展开成傅里叶级数的方法2()([,][0,]).lfxlll−如何将周期为的函数展开成傅里叶级数包括定义在，上函数的展开现在的问题：22.lπ方法：通过变量代换将周期由变为()2fxl分析：设函数以为周期并且满足狄利克雷充分条件，txlπ=作变量代换，[,]xll∈−则当时，[,].tππ∈−就有()()lfxftπ=因此()Ft=记为，()2Ftπ则函数以为周期.01(cossin)2nnnaantbnt∞=++∑()()()2FttFtFtt−+=+，为连续点；，为间断点.()()txlFtfxπ==，，01(cossin)2nnnanxnxabllππ∞=++∑()()()2fxxfxfxx−+=+，为连续点；，为间断点.01()1()cos1()sinnnaFtdtaFtntdtbFtntdtπππππππππ−−−===∫∫∫1()llfxdxl−=∫；1()cosllnxfxdxllπ−=∫；1()sinllnxfxdxllπ−=∫.(1,2,)n=二、以2l为周期的傅里叶级数定理2()lfx设周期为的周期函数满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为01()(cossin)2nnnanxnxfxabllππ∞==++∑，,nnab其中系数为1()cos(0,1,2,)lnlnxafxdxnllπ−==∫，；1()sin(1,2,).lnlnxbfxdxnllπ−==∫，(1)()fx如果为奇函数，则1()sinnnnxfxblπ∞==∑，02()sin(1,2,)lnnxbfxdxnllπ==∫其中，；(2)()fx如果为偶函数，则01()cos2nnanxfxalπ∞==+∑，02()cos(0,1,2,)lnnxafxdxnllπ==∫其中，.例14()()[2,2)020()02.fxfxxfxRx−−≤<=≤<将周期为的函数展开成傅里叶级数，其中在上的表达式为，；，解()2(0,1,)fxxkk==±函数满足收敛定理的条件，它在点不连续，在其它点处连续.x2−y2044−R2l=，2021()2afxdx−∴=∫021[02dx−=⋅∫20]Rdx+∫R=；221()cos22nnxafxdxπ−=∫021[0cos22nxdxπ−=⋅∫20cos]2nxRdxπ+∫0=；(1,2,)n=221()sin22nnxbfxdxπ−=∫021[0sin22nxdxπ−=⋅∫20sin]2nxRdxπ+∫[1(1)]nRnπ=−−02221(21)nkRnkkπ===−−，，，.(1,2,)k=()fx∴由狄利克雷充分条件，函数的傅里叶级数为121(21)sin2212nRRnxnππ∞=−+−∑21315(sinsinsin)223252RRxxxππππ=++++()2(0,1,2,)fxxkk≠==±±，；22Rxk=，.例210()[5,15)()10.fxfxx=−将周期为的函数展开成傅里叶级数，其中它在上的表达式为解10zx=−作变量代换，[5,15)x∈则当时，[5,5).z∈−就有()(10)fxfz=+因此()Fz=记为.10(10)zz=−+=−5−501510xy()5(21)(0,1...
