一阶线性微分方程举例一、一阶线性微分方程1.定义定义()()dyPxyQxdx+=形如的方程称为一阶线性微分方程.注1..yy′线性是指该方程关于未知函数及其导数都是一次2.()0()0QxQx=≠当时，称为一阶齐次线性方程；当时，称为一阶非齐次线性方程.23cos1yyxyyy′−=′−=22sindyyxdxdxxttdt=+=+2dyyxdx−=2sindxtxtdt−⋅=32yxy′−=一阶非齐次线性方程；一阶非线性方程.2.解法()0dyPxydx+=—可分离变量的微分方程.将方程分离变量得1().dyPxdxy=−两端积分，得ln()lnyPxdxC=−+∫，整理得()(*).PxdxyCe−∫=一阶齐次线性方程的通解.()()(()0)dyPxyQxQxdx+=≠分析通解的特点：()yyx=设是方程的解，则原方程可化为1()().QxdyPxdxdxyy=−+两端积分，得()ln()QxyPxdxdxy=−+∫∫，()()QxdxPxdxyyee−∫∫∴=⋅()(())QxdxyCxe∫=令()()(**)PxdxCxe−∫=，()Cx其中为待定函数.(**)(*)与作比较，形式上很相似，()CCx只要将任意常数换成待定函数，(**)().Cx将代入原方程求出即可常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.解yy′将和代入原方程，得()()PxdxyCxe−∫=设，则()()PxdxyCxe−∫′′=()()[()]PxdxCxePx−∫+⋅−.()()()()[()]PxdxPxdxCxeCxePx−−∫∫′+⋅−()()()PxdxPxCxe−∫+⋅().Qx=整理得()()()PxdxCxQxe∫′=，两端积分，得()()().PxdxCxQxedxC∫=+∫()(**)Cx将代入，得一阶非齐次线性方程的通解为()()[()]PxdxPxdxyeQxedxC−∫∫=+∫()()()().PxdxPxdxPxdxeQxedxCe−−∫∫∫=⋅+∫对应的齐次方程的通解非齐次方程的特解例12sin.1xxyyxyπ=′+==求解初值问题：解一原方程可化为1sin.xyyxx′+=1()Pxx=，sin()xQxx=，()()[()]PxdxPxdxyeQxedxC−∫∫∴=+∫11sin()dxdxxxxeedxCx−∫∫=+∫lnlnsin()xxxeedxCx−=+∫二、举例1sin()xxdxCxx=⋅+∫1(cos).xCx=−+将初始条件代入，得.2Cπ=1(cos).2yxxπ∴=−+所求特解为解二0.yyx′+=先求齐次方程的通解将方程分离变量得11.dydxyx=−两端积分，得lnlnlnyxC=−+，整理得1.yCx=用常数变易法，令1()yCxx=，yy′将和代入原方程，得()sinCxx′=，()cos.CxxC∴=−+1(cos).yxCx=−+原方程的通解为211()().yCxCxxx′′=−例23()(0)().yyfxyxxPQyfx==≥=如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段的长度在数值上等于阴影部分的面积，求曲线的方程解xyoxPQ3xy=)(xfy=由题意得0xydx∫两边求导得23yxy′=−，整理得23.yyx′+=3xy=−，()1Px=，2()3Qxx=，()()[()]PxdxPxdxyeQxedxC−∫∫∴...
