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斯托克斯(Stokes)公式环量与旋度一、斯托克斯(Stokes)公式定理(,,)(,,)(,,)PxyzQxyzRxyzΓΣΓΓΣΣ设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的方向与的侧符合右手规则，函数，，在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则()()()RQPRQPdydzdzdxdxdyyzzxxyPdxQdyRdzΣΓ∂∂∂∂∂∂−+−+−∂∂∂∂∂∂=++∫∫∫.斯托克斯公式是有向曲面的边界曲线ΓΣ右手法则nΣΓ便于记忆形式dydzdzdxdxdyPdxQdyRdzxyzPQRΓΣ∂∂∂=++∂∂∂∫∫∫另一种形式coscoscosdSxyzPQRPdxQdyRdzαβγΣΓ∂∂∂∂∂∂=++∫∫∫(cos,coscos)(,,)nxyzαβγ=Σ其中，为有向曲面上点处的单位法向量.注1.斯托克斯公式的实质：斯托克斯公式揭示了有向曲面上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类空间曲线积分之间的关系.2.xOyΣ若为面上的平面闭区域时，斯托克斯公式格林公式特殊情形例11zdxxdyydzxyzΓ++Γ++=∫计算，其中为平面被三坐标面所截成的三角形区域的整个边界，它的方向与该三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解111xyzOn1xyzΣ++=Γ令为平面被所围成的部分，取上侧.zdxxdyydzΓ++∫dydzdzdxdxdyxyzzxyΣ∂∂∂=∂∂∂∫∫由斯托克斯公式，得.dydzdzdxdxdyΣ=++∫∫1zxyΣ=−−：()上侧0101xyDxyx≤≤≤≤−：，xyo11xyD(,,1)xynzzΣ=−−曲面上任一点的法向量，11.xyzz=−=−其中，[1()1()11]xyxyDzzdxdy=⋅−+⋅−+⋅∫∫原式3xyDdxdy=∫∫3.2=例2222222()()()30120101IyzdxzxdyxydzxyzxyzxΓ=−+−+−Γ++=≤≤≤≤≤≤∫计算，其中为平面截立方体：，，的表面所得的截痕，如果从轴正方向看为逆时针方向.解zxyoΓΣn32xyzΣ++=Γ令为平面被所围成的部分，取上侧.(1,1,1)nΣ=曲面上任一点的法向量为，1coscoscos.3αβγ∴===222222111333IdSxyzyzzxxyΣ∂∂∂=∂∂∂−−−∫∫4()3xyzdSΣ=−++∫∫6xyDdxdy=−∫∫32zxyΣ=−−：xyD23=+yx21=+yx23dSΣ=−∫∫22116[12()]22=−−⋅⋅9.2=−例322()()()12.zydxxzdyxydzxyzzxyzΓ−+−+−+=Γ−+=∫计算，其中：从轴正方向往轴负方向看为顺时针方向解一cossinxtyt==令，，22cossinzxytt=−+=−+，20tπ→：()()()zydxxzdyxydzΓ−+−+−∫02[(2cos)(sin)(2cos2sin)cos(cossin)(sincos)]tttttttttdtπ=−⋅−+−−⋅+−⋅+∫0222[2(cossin)3cossin]ttttdtπ=−++−∫2.π=−解二221xOyCxyΓ+=记在面上的投影曲线为：，取顺时针方向...