问题的提出由一个方程确定的隐函数情形由方程组确定的隐函数情形一、问题的提出()(,)yfxzfxy==显函数：，—将因变量用关于自变量的解析式表示(,)0()Fxyyxϕ==隐函数：确定，(,,)0,(,).Fxyzxyzfxy==确定的注(1)不是任何方程都确定实的隐函数.22210xyz+++=—不表示函数关系(2)即使隐函数存在，也不一定能够显化.sin0(01)()yxyyyxεε−−=<<=确定，但无法显化.问题—本节要研究解决的问题.一个方程要满足什么条件才能确定隐函数？隐函数是否唯一？连续性？导数或偏导数如何求？二、由一个方程确定的隐函数情形()(,)0FxyΙ=定理1000000(,)(1)(,)(2)(,)0(3)(,)0yFxyxyFxyFxy=≠设函数满足：在点的某一邻域内具有连续的偏导数；；，0000(,)0(,)()()Fxyxyyfxyfx===则方程在的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数的函数，使得，并且有xyFdydxF=−隐函数求导公式证明仅证明隐函数求导公式.(,)0Fxy=在方程两端求全微分，得0xyFdxFdy+=，00(,)0yyFFxy≠由于连续，且，00(,)(,)0yxyFxy≠所以存在的某一邻域，在该邻域内任一点，都有，.xyFdydxF=−因此sin0(01)yxyεε−−=<<例如：(,)sinFxyyxyε=−−令，11cosxyFFyε=−=−，，(0,0)0F=，(0,0)∴在的某一邻域内唯一确定一个具有连续导数的函数，xyFdydxF=−11cosyε=−(0)y′1.1ε=−(0,0)10yFε=−≠，例1解221(0,1)01()0.xyxyyfxx+=====验证方程在点的某一邻域内能唯一确定一个可导，且当时的隐函数，并求该函数的一阶和二阶导数在的值22(,)1Fxyxy=+−令，22xyFxFy==，，(0,1)0F=，(0,1)20yF=≠，2211(0,1)01().xyxyyfx+====根据定理，方程在点的某一邻域内能唯一确定一个可导，且当时的隐函数函数的一阶导数为xyFdydxF=−xy=−，222dyyxdydxdxy−⋅=−00xdydx==，2xyxyy−⋅−=−223yxy+=−31y=−，2201.xdydx==−函数的二阶导数为例2解一22lnarctan.ydyxyxdx+=已知，求22(,)lnarctanyFxyxyx=+−令，22122xxFxy=+221yxyx−−+22xyxy+=+，22122yyFxy=+22yxxy−=+，211xyx−+xyFdydxF=−.xyxy+=−解二x方程两端同时对求导，得2211(22)2dyxyxydx⋅+⋅+221dyxydxxyx⋅−=+2222dydyxyxydxdxxyxy+⋅⋅−=++()dyxyxydx−=+.dyxydxxy+=−()(,,)0FxyzΙΙ=定理2000000000(,,)(1)(,,)(2)(,,)0(3)(,,)0zFxyzxyzFxyzFxyz=≠设函数满足：在点的某一邻域内具有连续的偏导数；；，000000(,,)0(,,)(,)(,)Fxyzxyzzfxyzfxy===则方程在的某一邻域内能唯一确定一个具有连...
