一轮复习我先行一天一小步寒春一大步高二数学教研组全体一轮复习函数切线问题一基础知识1、与切线相关的定义：1、切线的定义：在曲线的某点A附近取点B，并使B沿曲线不断接近A。这样直线AB的极限位置就是曲线在点A的切线。（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A附近的点向A不断接近，当与A距离非常小时，观察直线AB是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数3yx=在()1,1−−处的切线，与曲线有两个公共点。（3）在定义中，点B不断接近A包含两个方向，A点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如yx=在()0,0处，通过观察图像可知，当0x=左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为yx=−，而当0x=右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为yx=，两个不同的方向极限位置不相同，故yx=在()0,0处不含切线（4）由于点B沿函数曲线不断向A接近，所以若()fx在A处有切线，那么必须在A点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数()yfx=上点()()00,,Axfx()fx在A附近有定义且附近的点()()00,Bxxfxx+∆+∆，则割线AB斜率为：一轮复习我先行一天一小步寒春一大步高二数学教研组全体()()()()()000000ABfxxfxfxxfxkxxxx+∆−+∆−==+∆−∆当B无限接近A时，即x∆接近于零，∴直线AB到达极限位置时的斜率表示为：()()000limxfxxfxkx∆→+∆−=∆,即切线斜率，由导数定义可知：()()()'0000limxfxxfxkfxx∆→+∆−==∆。故()'0fx为()fx在()()00,Axfx处切线的斜率。这是导数的几何意义。3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置。故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数。例如前面例子yx=在()0,0处不存在导数。此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直x轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在。例如：3yx=在()0,0处不可...
