多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法问题的提出实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁，店主每天以什么价格卖这两种牌子的果汁可获得最大收益？xyyx4570+−yx7680−+每天的收益为(,)fxy=(1)(7054)(1.2)(8067)xxyyxy−−++−+−求最大收益即为求该二元函数的最大值.一、多元函数的极值和最值1.二元函数极值的定义定义0000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)zfxyPxyxyxyfxyfxy=<设函数在的某个邻域内有定义，如果对该邻域内任意一个不同于的点，都有成立，00000000(,)(,)(,)(,)(,)zfxyPxyfxyPxyzfxy==则称函数在点有极大值，并称点为函数的极大值点.)(>(小)(小)极大值和极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.(局部概念)例12234(0,0)zxy=+函数在处有极小值．例222(0,0)zxy=−+函数在处有极大值．例322(0,0)zyx=−函数在处无极值．注(,)zfxy=二元函数极值的概念可推广到二元以上的函数.2.二元函数取得极值的条件定理100000000(,)(,)(,)(,)(,)0(,)0.xyzfxyxyxyzfxyfxyfxy====设函数在点处偏导数存在，若是的极值点，则必有，()必要条件证明00(,)(,)zfxyxy=函数在处有极值，00yyxx=≠若固定而，00()(,).xfxyxϕ=则有一元函数在处有极值由一元函数取得极值的必要条件00(,)0xxdfxydx==，00(,)xfxy=00(,)0.yfxy=同理可证：定义000000(,)0(,)0(,)(,).xyfxyfxyxyzfxy===使得，成立的点称为函数的驻点1定理说明：在一阶偏导数存在的条件下，极值点必定是驻点.00000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyyz=+−+−=则切平面方程为xOy—切平面平行于坐标面.0000(,)(,)(,)(,)zfxyxyzfxyxy==如果函数在点取得极值，且曲面在点有切平面，22(0,0)zyx=−例如函数，在处无极值，(0,0)(0,0)0.xyff==但驻点一定是极值点？注.偏导数不存在的点也可能是极值点22(0,0)zxy=+例如函数在的偏导数不存在，(0,0)但在处有极小值．驻点和偏导数不存在的点统称为临界点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点?定理200(,)(,)zfxyxy=设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，0000002(,)(,)(,)xxxyyyfxyAfxyBfxyCDACB====−令，，，且，则00(1)0(,)(,)00DfxyxyAA>><当时，在点取得极值，且当时为极小值点，当时为极大值点.0000(,)(,)0xyfxyfxy==又，00(2)0(,)Dfxy<当时，不是极值；00(3)0(,)Dfxy=当时，是否是极值无法确定.(,)zfxy=求函数极...
