导数应用证明不等式（1）知识点自查1.作差法2.主元法3.对数处理技巧4.必须熟记的简单不等式练习已知函数f（x）=a+lnx-aex（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行，求实数a的值。（2）若对任意x∈（0，+）不等式f（x）0恒成立，求实数a的取值范围。思路本题主要考查导数的概念及其几何意义和导数在研究函数中的应用。（1）由条件曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行并利用导数的几何意义：函数在某点切线的斜率等于该点的导数值可得f'（1）=0，从而f（x）求导将f'（1）=0代入即可得到a的值。（2）将条件“不等式f（x）≤0恒成立”转化为a≥（1+lnx）/ex对任意x∈（0，+）时恒成立，从而构造函数h（x）=（1+lnx）/ex，只需求得函数h（x）在定义域（0，+）上的最大值即可得到a的取值范围。解析（1）根据题意f（x）的定义域为（0，+）对f（x）求导可得f（x）=1/x-aex曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行即曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为0，由导数的几何意义可知：函数在某点切线的斜率等于该点的导数值，f'（1）=0即1-ae=0解得：a=1/e即所求实数a的值为1/e。解析(2)由题条件对任意x∈（0，+），不等式f(x)≤0恒成立即1+lnx-aex≤0对任意x∈（0，+）恒成立即a≥(1+lnx)/ex对任意x∈（0,+）时恒成立，令h(x)=(1+lnx)/exx∈（0，+）令g(x)=1/x-1-lnxx∈（0，+）所以g'(x)=-1/x2-1/x＜0即g(x)在定义域（0，+）上单调递减又因为g(1)=1-1-0=0，ex＞0根据单调性可得h(x)在x=1处取最大值h(x)max=h(1)=1/e即a≥1/e
