()()′′′=ΙΙyfx,y型的微分方程()()′′′=ΙΙΙyfy,y型的微分方程()()()n=yfxI型的微分方程定义二阶以及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.从本节起我们开始讨论高阶微分方程.有些高阶微分方程，可通过变量代换化为较低阶的方程来求解.本节介绍三种容易降阶的高阶微分方程的解法.()()()nyfx、I一型的微分方程=特点()fxx方程右端只是关于的函数.解法()()nyfx；=(1)1()nyfxdxC；−=+∫(2)12[()]nyfxdxdxCxC；−=++∫∫逐次积分.yn的表达式含有个任意常数.例1sinyxx求微分方程的通解.′′′=+解逐次积分.211cos2yxxC；′′=−++3121sin6yxxCxC；′=−+++4212311cos.242yxxCxCxC=++++()(II)yfx,y二、型的微分方程′′′=特点(,).fxyy方程右端不显含′解法yp令，′=dpypdx则，′′′==()方程可化为ΙΙ(,).pfxp′=,xp关于变量的一阶微分方程1(,)pxC应用前面一阶方程的解法，设其通解为，ϕ=1(,)dyxCdx即，ϕ=12(,).yxCdxCϕ∴=+∫例2200(1)213xxxyxyyy求微分方程满足，的特解.==′′′+==′=解y方程中不显含，yp令，′=dpypdx则，′′′==代入原方程，得22.1xppx′=+将方程分离变量得22.1dpxdxpx=+两端积分，得21lnln(1)lnpxC，=++整理得21(1).pCx=+21(1).dyCxdx即=+再次积分，得231121(1)().3yCxdxCxxC=+=++∫将初始条件代入，得1231.CC，==313()1.3yxx所求特解为∴=++例3(5)(4)0xyy求微分方程的通解.−=解(4)yp令，=(5)dpypdx则，′==代入原方程，得0.xpp′−=将方程分离变量得.dpdxpx=两端积分，得1lnlnlnpxC，=+整理得1.pCx=(4)1.yCx即=逐次积分.21212yCxC；′′′=+312316yCxCxC；′′=++42123411242yCxCxCxC；′=+++53212345111.12062yCxCxCxCxC=++++53212345.yDxDxDxDxD原方程的通解为∴=++++()(III)yfy,y三、型的微分方程′′′=特点(,).fyyx方程右端不显含′解法yp令，′=dpydx则′′=()方程可化为ΙΙΙ(,).dppfypdy=dpdydydx=⋅dppdy，=,yp关于变量的一阶微分方程1(,)pyC设通解为，ϕ=21.(,)dyxCyCϕ∴=+∫1(,)dyyCdx即，ϕ=例420yyy求微分方程的通解.′′′−=解x方程中不显含，yp令，′=dpdpypdxdy则，′′==代入原方程，得20.dpyppdy−=将方程分离变量得.dpdypy=两端积分，得1lnlnlnpyC，=+整理得1.pCy=1.dyCydx即=再次分离变量得1.dyCdxy=两端积分，得12lnlnyCxC，=+整理得12.CxyCe=12.CxyCe原方程的通解为∴=小结类型解法()()()nyfx=Ι(,)()yfxy′′′=ΙΙ(,)()yfyy′′′=ΙΙΙ逐次积分.(,).yppfxp令′′=⇒=(,).dpyppfypdy令′=⇒=
