问题的提出三角级数函数展开成傅里叶级数一、问题的提出从本节开始，我们讨论由三角函数组成的函数项级数—三角级数.着重研究如何用三角级数表示函数.为什么要研究三角级数呢？在物理学和工程技术中，常常会遇到各种周期现象.对于一些简单的周期运动，如单摆的摆动、弹簧的振动等，可用正弦函数表示.物理学中称这种简单的周期运动为简谐振动.sin()yAtωϕ=+但是有些复杂的周期运动，如电子技术中常用矩形波反映电压随时间的周期变化，就不能用正弦函数来表示.对于这一类问题的研究通常是加以简化，即把复杂的周期运动看成是若干不同频率的简谐振动的叠加，即01()sin()nnnftAAntωϕ∞==++∑01(sincoscossin)nnnnAAntntωϕωϕ∞==++∑01(cossin).2nnnaanxbnx∞∆==++∑10()10.tuttππ−−≤<=≤<，当；非正弦周期函数：矩形波，当otuππ−1−1111sinsin3sin5sin74434547ttttππππ⋅⋅⋅不同频率正弦波的叠加，，，，4sinutπ=41(sinsin3)3uttπ=+411(sinsin3sin5)35utttπ=++4111(sinsin3sin5sin7)357uttttπ=+++41111(sinsin3sin5sin7sin9)3579utttttπ=++++4111()(sinsin3sin5sin7)357utttttπ=++++(0)ttππ−<<≠，二、三角级数1.三角级数定义010(cossin)2,,(1,2,)nnnnnaanxbnxaabn∞=++=∑形如的函数项级数称为三角级数，其中都是常数.2.三角函数系的正交性{1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,}xxxxnxnx称集合为三角函数系.[,].ππ−三角函数系的正交性：任何两个不同函数的乘积在上的积分等于零1cos0nxdxππ−⋅=∫；1sin0nxdxππ−⋅=∫；0coscosmnmxnxdxmnπππ−≠⋅==∫，；，0sinsinmnmxnxdxmnπππ−≠⋅==∫，；，sincos0.mxnxdxππ−⋅=∫(,1,2,)mn=其中212dxπππ−=∫.常用的公式：1coscos[cos()cos()]21(1)sinsin[cos()cos()]21sincos[sin()sin()]2xyxyxyxyxyxyxyxyxy=++−=−−+=++−，，，221cos(1cos2)2(2)1sin(1cos2)2xxxx=+=−，，cos(1)(3)sin0nnnππ=−=，，00()(4)()2()()aaafxfxdxfxdxfx−=∫∫，为奇函数，，为偶函数.三、函数展开成傅里叶级数()fx将一个函数展开成傅里叶级数的基本思路：(1)()fx由形式上产生一个三角级数，即傅里叶级数；0,,(1,2,).nnaabn=计算出系数(2)()().fxfx研究当满足什么条件时傅里叶级数收敛且收敛于1.f(x)的傅里叶级数01()2()(cossin)2kkkfxafxakxbkxπ∞==++∑能设是周期为的函数，且能展开成...
