一、概念曲线积分定义第一类曲线积分第二类曲线积分(,)Lfxyds∫(,)(,)LPxydxQxydy+∫01lim(,)niiiifsλξη→==∆∑01lim[(,)(,)]niiiiiiiPxQyλξηξη→==∆+∆∑二、两类曲线积分之间的联系联系平面曲线空间曲线(coscos)LLPdxQdyPQdsαβ+=+∫∫(coscoscos)PdxQdyRdzPQRdsαβγΓΓ++=++∫∫三、计算1.化为定积分平面空间定限22(,)[,]Lfxydsfdtβαϕψϕψ′′=+∫∫αβ<222(,,)[,,]fxyzdsfdtβαϕψωϕψωΓ=′′′++∫∫[(,)(,)]LPdxQdyPQdtβαϕψϕϕψψ+=′′+∫∫始点→终点[(,,)(,,)(,,)]LPdxQdyRdzPQRdtβαϕψωϕϕψωψϕψωω++=′+′′+∫∫2.格林公式∫+=LQdyPdxIxQyP∂∂=∂∂xQyP∂∂≠∂∂0∫=+=LQdyPdxI封闭∫+=),(),(00yxyxQdyPdxI非闭封闭∫∫∂∂−∂∂=DdxdyyPxQI)(非闭添加辅助曲线注00(,)PQxyyx∂∂=∂∂若，但被积函数在点处不连续，00(,)xy若封闭曲线所围成的区域包含，则曲线积分不一定为零；但积分值与该封闭曲线的方程无关.(,)(,)GPxyQxyG设开区域为单连通域，函数，在内具有一阶连续偏导数，(1)LPdxQdyG+∫曲线积分在内与路径无关；(2)0CGCPdxQdy+=∫对内任意一条闭曲线，都有；(3)PQGyx∂∂=∂∂对内任意一点都有成立；(4)(,)(,)(,)(,).GuxyduxyPxydxQxydy=+在内存在函数，使得四、曲线积分与路径无关五、曲线积分的应用1.曲线L的弧长1.Lsds=⋅∫3.平面区域的面积12LAydxxdy=−+∫LLydxxdy=−=∫∫.2.曲线形构件的质量(,)LMxydsρ=∫，(,,).MxyzdsρΓ=∫4.变力沿曲线作功.LLWFdrPdxQdy=⋅=+∫∫例1222(0).LxydsLxyaa+=>∫计算，其中为圆周解Lxyds∫由对称性，14Lxyds=∫1LL其中为位于第一象限部分.1cossin(0)2Lxatyattπ==≤≤：，，22()()dsxtytdt′′=+adt=，14Lxyds=∫原式204cossinatatadtπ=⋅⋅∫33204sincos2.attdtaπ==∫例22222.LxydsLxyax++=∫计算，其中为圆周解cossin(02)222aaaLxtyttπ=+=≤≤：，，22()()dsxtytdt′′=+2adt=，22Lxyds+∫2220(cos)(sin)2222aaaattdtπ=++⋅∫22012(1cos)4atdtπ=+∫2201cos22tadtπ=∫2201(coscos)222ttadtdtπππ=−∫∫22.a=例322222.0xyzaIxdsxyzΓ++==Γ++=∫计算，其中为圆周解一2222()zxyxyza=−+++=将代入得，22212xxyya++=222131()242xyya++=即，2sin3yat=令，11cos22xyat+=1(cossin)23axtt⇒=−，()zxy=−+1(cossin)23aztt⇒=−+，(02)tπ≤≤222()()()dsxtytztdt′′′=++adt=，2IxdsΓ=∫2201[(cossin)]...
