区域连通性的分类格林(Green)公式格林公式的应用一、区域连通性的分类设D为平面有界区域，如果D内任一闭曲线所围成的区域都包含在D中，则称D为平面单连通区域，否则称D为平面复连通区域.单连通区域DD复连通区域D二、格林(Green)公式DL规定的边界曲线的正向：DL边界曲线L的正向：当一个人沿边界行走时，区域D总在他的左边.1L2L定理(,)(,)PxyQxyDDL设函数，在平面有界闭区域上具有一阶连续偏导数，其中由分段光滑的闭曲线所围成，则有()LDQPdxdyPdxQdyxy∂∂−=+∂∂∫∫∫，LD其中为的取正向的边界曲线..格林公式证明yxoD(1)DXY为单连通区域，且既为型区域，又为型区域，abAB1()yxϕ=2()yxϕ=12{(,)()()}Dxyaxbxyxϕϕ=≤≤≤≤，；cdCE1()xyψ=2()xyψ=12{(,)()()}.Dxycydyxyψψ=≤≤≤≤，yxoDABcdCE1()xyψ=2()xyψ=DQdxdyx∂∂∫∫21()()dycyQdydxxψψ∂=∂∫∫21()()(,)dyycQxydyψψ=∫21((),)((),)ddccQyydyQyydyψψ=−∫∫；(,)LQxydy∫(,)(,)CBEEACQxydyQxydy=+∫∫(,)(,)CBECAEQxydyQxydy=−∫∫2((),)dcQyydyψ=∫1((),)dcQyydyψ−∫，(,).LDQdxdyQxydyx∂∴=∂∫∫∫D同理可证(,).LDPdxdyPxydxy∂−=∂∫∫∫两式相加得().LDQPdxdyPdxQdyxy∂∂−=+∂∂∫∫∫(2)DXY为单连通区域，但不满足既为型又为型区域，L123DXYDDD将划分成三个既为型又为型的区域，，，1D2D3D123()()DDDDQPQPdxdydxdyxyxy++∂∂∂∂−=−∂∂∂∂∫∫∫∫1L2L3Ll1l2l3123()()()DDDQPQPQPdxdydxdydxdyxyxyxy∂∂∂∂∂∂=−+−+−∂∂∂∂∂∂∫∫∫∫∫∫DL1D2D3D1L2L3Ll1l2l311LlPdxQdy+=+∫22LlPdxQdy+++∫33LlPdxQdy+++∫112233LlLlLlPdxQdy+++++=+∫123LLLPdxQdy++=+∫123()LLLD，，对来说为正方向.LPdxQdy=+∫注1.(1)(2)(3)(,)(,)LLDPxyQxyD使用格林公式必须满足以下三点：为封闭曲线；为区域的正方向；，在上具有一阶连续偏导数.2.格林公式的实质：().LDQPdxdyPdxQdyxy∂∂−=+∂∂∫∫∫格林公式揭示了平面区域上的二重积分与沿该区域边界上的第二类曲线积分之间的关系.三、格林公式的应用(1)计算第二类曲线积分；(2)计算平面区域的面积.例122222LxydyxydxLxyx−+=∫计算，其中为圆周，取逆时针方向.解一1cossinxtyt=+=令，，02tπ→：22Lxydyxydx−∫2220[(1cos)sincos(1cos)sin(sin)]ttttttdtπ=+⋅−+⋅−∫2220(13cos2cos)sintttdtπ=++∫3.2π=解二例122222LxydyxydxLxyx−+=∫计算，其中为圆周，取逆时针方向....
