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高斯(Guass)公式通量与散度牛顿-莱布尼兹公式：区间上的定积分与其端点的函数值之间的关系.()()bbaaFxdxFx′=∫格林公式：平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系.()LDQPdxdyPdxQdyxy∂∂−=+∂∂∫∫∫高斯公式：空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二类曲面积分之间的关系.一、高斯(Gauss)公式定理(,,)(,,)(,,)PxyzQxyzRxyzΩΩΣ设函数，，在空间有界闭区域上具有一阶连续偏导数，其中由分片光滑的有向闭曲面所围成，则有()PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyzΩΣ∂∂∂++=++∂∂∂∫∫∫∫∫Σ其中取外侧，[coscoscos]PQRdSFndSαβγΣΣ=++=⋅∫∫∫∫FdSΣ=⋅∫∫(cos,coscos)(,,)nxyzαβγ=Σ，为有向曲面上点处的单位法向量..高斯公式注().PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyzΩΣ∂∂∂++=++∂∂∂∫∫∫∫∫1.(1)(2)(3)PQRΣΣΩ使用高斯公式必须满足以下三点：为闭曲面；取外侧；，，在上具有一阶连续偏导数.2.高斯公式的实质：高斯公式揭示了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二类曲面积分之间的关系.例122(,,0)IxdydzydzdxxaybzcabcΣ=+Σ===>∫∫计算，其中为三坐标面与平面，，所围成的长方体的整个边界，取外侧.解2Px=，2Qy=，0R=，2Pxx∂=∂，2Qyy∂=∂，0.Rz∂=∂由高斯公式(22)IxydvΩ=+∫∫∫000(22)abcdxdyxydz=+∫∫∫().abcab=+例22222220IxdydzydzdxzdxdyxyzzzhΣ=++Σ+===∫∫计算，其中为圆锥面位于平面及之间的部分，取下侧.解一123.IIII=++221xzyΣ=−：222xzyΣ=−−：()前侧()后侧0yzDzhzyz≤≤−≤≤：，121IΣΣ=+∫∫∫∫222()yzDzydydz=−∫∫222()yzDzydydz−−∫∫−0.=221yzxΣ=−：222yzxΣ=−−：()右侧()左侧0zxDzhzxz≤≤−≤≤：，122IΣΣ=+∫∫∫∫222()zxDzxdzdx=−∫∫222()zxDzxdzdx−−∫∫−0.=22zxyΣ=+：()下侧222xyDxyh+≤：23IzdxdyΣ=∫∫222()xyDxydxdy=+∫∫−2200hdrrdrπθ=−⋅∫∫41.2hπ=−41.2Ihπ∴=−解二例22222220IxdydzydzdxzdxdyxyzzzhΣ=++Σ+===∫∫计算，其中为圆锥面位于平面及之间的部分，取下侧.22zxyΣ=+：()下侧222xyDxyh+≤：(,,1)xynzzΣ=−曲面上任一点的法向量，2222.xyxyzzxyxy==++其中，22222222[()]xyDxyxyxydxdyxyxy=⋅+⋅−+++∫∫22()xyDxydxdy=−+∫∫2200hdrrdrπθ=−⋅∫∫41.2hπ=−222[(1)]xyxyDxzyzzdxdy=⋅+⋅+⋅−∫∫222IxdydzydzdxzdxdyΣ=++∫∫解三例22222220IxdydzydzdxzdxdyxyzzzhΣ=++Σ+===∫∫...