平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极限运算多元连续函数的性质多元函数概念高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性微分法在几何上的应用方向导数多元函数的极值全微分概念偏导数概念偏导数连续函数连续偏导数存在可微例1解22(,)(0,0)()lim.xyyxxxy→−+求极限原式22(,)(0,0)lim()xyxyxxy→=−⋅+(,)(0,0)lim()0xyyx→−=，221xxy≤+，0.=例2解3222(,)(,).yzxfxyfuvxzzzyyxy=∂∂∂∂∂∂∂设，其中具有二阶连续偏导数，求，，zy∂∂31(xfx′=⋅⋅4212xfxf′′=+，22zy∂∂4212ffxxyy′′∂∂=⋅+⋅∂∂21)fx′+⋅411121()xfxfx′′′′=⋅⋅+⋅221221()xfxfx′′′′+⋅⋅+⋅531112222xfxfxf′′′′′′=++，22zzxyyx∂∂=∂∂∂∂342121242ffxfxxfxxx′′∂∂′′=+⋅++⋅∂∂341111224yxfxfyfx′′′′′=+⋅⋅+⋅−22212222yxfxfyfx′′′′′++⋅⋅+⋅−3412112242.xfxfxyfyf′′′′′′=++−例3解2(,,)(,,)0sin,0.yufxyzxezyxdufzdxϕϕϕ===∂≠∂设，，，其中具有一阶连续偏导数，且，求duffdyfdzdxxydxzdx∂∂∂=+⋅+∂∂∂，cosdyxdx=显然，dzdx求，2(,,)0yxezxϕ=对方程两端直接对求导，12xϕ′⋅2ydyedxϕ′+⋅⋅30dzdxϕ′+⋅=，sin1231(2cos)xdzxexdxϕϕϕ′′∴=−+⋅′，sin1231cos(2cos)xdufffxxexdxxyzϕϕϕ∂∂∂′′=+−+⋅′∂∂∂故sin312123cos(2cos).xffxfxexϕϕϕ′′′′′=+−+⋅′例4(,)()(,,)0(,)000.ufxyuxgxyzhxzghduyzdx===∂∂≠≠∂∂设函数由方程组所确定，且，，求解,uyzx将方程组的变量以及都视为的函数，x方程组两端直接对求导，得(1)0(2)0(3)xyxyzxzdudyffdxdxdydzgggdxdxdzhhdx=+⋅+⋅+⋅=+⋅=(3)xzhdzdxh=−由式得，，(2)zxxyzyghgdydxghg=−代入式得，，(1)代入式得，.yxyzxxyyzfgfghdufdxggh=−+例5311(,)(1,1)(1,1)1(1,1)2(1,1)3()[,(,)]()()().xyxxzfxyfffxfxfxxdxxxdxϕϕϕϕ=======′′设函数在点处可微，，，，且，求，及解12(,)(,)xyfxyffxyf′′==令，，()xϕ′1f′=2f′+1212()ffff′′′′=+⋅+12(1,1)2(1,1)3ff′′∴==，，1212[,(,)][,(,)][(,)(,)]fxfxxfxfxxfxxfxx′′′′=+⋅+(,)fxxx∂⋅∂12121()[1,(1,1)][1,(1,1)][(1,1)(1,1)]xxffffffϕ=′′′′′=+⋅+()1212(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)ffff′′′′=+⋅+23(23)=+⋅+17.=32()3()()dxxxdxϕϕϕ′=31()xdxdxϕ=213...
