南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系第六章：空间解析几何南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系第一节：空间向量的运算向量为既有大小又有方向的量，向量表示为12{,,}xyzxyzaMMaaaaiajak===++������������.（1）向量的长度称为向量的模，记作222xyzaaaa=++�；（2）向量的方向一般通过方向余弦描述，分别为cos,cos,cosyzxaaaaaaαβγ===���.南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系（1）向量AB����在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：Prj||cosuABABφ=����；（2）两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和：（可推广至有限个）1212Prj()PrjPrj.aaaa+=+������������投影定理南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系向量a�与b�的内积（点积、数量积）定义为（设向量a�与b�的夹角为[0,]θπ∈）||||cosababθ⋅=����.注：(a)由投影定理，两向量的内积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积，即||Prj()||Prj()abababba⋅==��������；(b)模与内积的关系：aaa=⋅���(c)垂直于内积的关系：ab⊥��⇔0ab⋅=��；(d)内积满足交换律（abba⋅=⋅����）及分配率（()abcacbc+⋅=⋅+⋅�������）.向量内积南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系向量a�与b�的外积（叉积、向量积）为cab=×���，其中向量c�满足(i)||||sincabθ=���.（其中[0,]θπ∈为向量a�与b�的夹角），(ii)c�的方向既垂直于a�，又垂直于b�，且三向量,,abc���的指向符合右手系.注：(a)0aa×=���；(b)ab���⇔0ab×=���；(c)ab×��等于以a�和b�为邻边的平行四边形的面积；(d)外积满足反交换律（abba×=−×����）及分配率（()abcacbc+×=×+×�������）.向量外积南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系混合积：已知三个向量a�、b�、c�，称()abc×⋅���为这三个向量的混合积，记为[]abc���.注：(a)[]()()()abcabcbcacab=×⋅=×⋅=×⋅������������；(b)()abc×⋅���等于以,,abc���为相邻棱的平行六面体的体积；(c)三向量,,abc���共面⇔[]()0abcabc=×⋅=������.向量混合积本节练习P138，第1-8题南京航空航天大学高等数学竞赛培训南...
