南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系第四章：等式与不等式证明南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系第一节：理论基础◆极限与连续函数的性质1.极限性质：（1）有界性和局部有界性；（2）保号性和局部保号性；（3）保序性和局部保序性.2.闭区间连续函数性质：（1）有界性：有界闭区间上的连续函数一定有界；（2）最值定理：有界闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值；（3）零点定理和介值定理：南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系微分中值定理1.Rolle定理：若函数()fx在[,]ab上连续,在(,)ab内可导,且()()fafb=,则(,)abξ∃∈使得'()0fξ=.2.Lagrange中值定理：若函数()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，则(,)abξ∃∈使得()()'()()fbfafbaξ−=−.3.Cauchy中值定理：若函数()fx及()Fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且'()0Fx≠，则(,)abξ∃∈使得()()'()()()'()fafbfFaFbFξξ−=−.4.Taylor中值定理：如果函数()fx在含有0x的某个开区间(,)ab内具有直到(1)n+阶的导数，则当x在(,)ab内时，()20000000()()()()()()()()()2!!nnnfxfxfxfxfxxxxxxxRxn′′′=+−+−++−+�,其中(1)10()()()(1)!nnnfRxxxnξ++=−+(ξ介于0x与x之间).南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系微分不等式一阶微分不等式（单调性）：()fx在区间I上可导，若'()0(0)fx≥≤，则1212,,xxxxI∀<∈有12()()fxfx≤或12()().fxfx≥二阶微分不等式（凸性）：()fx在区间I上二阶可导，若''()0(0)fx≥≤，则12,,(0,1)xxIλ∀∈∀∈有1212((1))()(1)()fxxfxfxλλλλ+−≤+−或1212((1))()(1)()fxxfxfxλλλλ+−≥+−.南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系积分中值定理（1）第一积分中值定理：若()[,]fxCab∈，()[,]gxRab∈且()gx在[,]ab上不变号，则[,]abξ∃∈，使得()()d()()dbbaafxgxxfgxxξ=∫∫.注：(a)若()1gx≡，上述中值定理变为()d()()bafxxfbaξ=−∫；(b)若()[,]gxCab∈且()gx在[,]ab上不变号，则(,)abξ∃∈使等式成立.（2）第二积分中值定理：设()[,]fxRab∈，若()gx在[,]ab上单调，则[,]abξ∃∈，使得()()d()()d()()dbbaafxgxxgafxxgbfxxξξ=+∫∫∫.(a)()gx在[,]ab上递减且()0gx≥，则[,]abξ∃∈，使得()()d()()dbaafxgxxgafxxξ=∫∫；(b)()gx在[,]ab上递增且()0gx≥，则[,]abξ∃∈，使得()()d()()dbbafxgxxgbfxxξ=∫∫.南...
