南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系第七章：多元微分学及其应用南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系第一节：多元函数的极限与连续1.多元函数的极限0,0,εδ∀>∃>当00PPδ<<时，恒有(),fxyAε−<成立，称A为(),zfxy=当00,xxyy→→时的极限，记作()00lim,xxyyfxyA→→=.2.多元函数的连续性若()()0000lim,,,xxyyfxyfxy→→=则称(),zfxy=在点()000,Pxy处连续.注：多元函数极限和连续的实质思想和一元函数相比没有变化，具体形式的变化是由于定义域的改变引起的.本节练习P157，第1-2题南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系（1）连续函数的和，差，积，商（分母不为0处）均为连续函数，连续函数的复合函数也连续.（2）有界闭区域上的连续函数必定有最大值，最小值.（3）有界闭区域上的连续函数，若取得两不同值，则它在该区域上必定取得介于这两个值之间的一切值.注：多元连续函数在闭区域的性质与一元连续函数在闭区域的性质完全一致.连续函数的性质南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系例题：（P154例2）研究()00ln1limxyxyxy→→++的存在性.解：由于()()ln1ln1xyxyxyxyxyxy++=⋅++，而()00ln1lim1xyxyxy→→+=，同时20000limlimlim02xxxyyxyxxyxyxxyxyx→→→→=====++()22220000limlimlim1xxxyyxxyxxxxxxyxyxyxyx→→→→=−=−−===−++.故()00ln1limxyxyxy→→++不存在.南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系若()()00000,,limxfxxyfxyxΔ→+Δ−Δ存在，则称此极限为函数(),zfxy=在点()000,Pxy处对x的偏导数，记作00xxyyzx==∂∂.注：（1）偏导数的实质和导数的实质无异，都是“增量比”的极限，所不同的是自变量增加，因此需要对不同的自变量求偏导数.（2）与一元函数不同，偏导数存在不是连续的充分条件，也非必要条件.本节练习P157，第3-4题偏导数南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系例题：（P156，例8）已知二元函数(),fxy满足()()0,2,dxfxyyfxtyt=+−∫，(),gxy满足(),1gxyx∂=∂，(),1,gxyy∂=−∂且()0,00,g=求()()1,lim.,1nnnfngn→∞⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：由()()()00,2,d2,dxxfxyyfxtytyfuyu=+−=+∫∫，两边对x求导，得()()',2,xfxyfxy=，即()()2,xfxyCye=.南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系而()0,fyy=，因此()Cyy=，故()2,xfxyye=.再由(),1gx...
