南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系第八章：重积分及其应用南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系第一节：二重积分设(),fxy是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意n个小区域12,,,nσσσΔΔΔ��，其中iσΔ表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个iσΔ上任取一点(),iiξη，做乘积(),iiifξησΔ，()1,2,in=�，并做和()1,niiiifξησ=Δ∑.如果当各个小闭区间的直径中的最大值λ趋近于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数(),fxy在闭区域D上的二重积分，记为(),dDfxyσ∫∫，即()()01,dlim,niiiDfxyfλσξησ→==Δ∑∫∫.南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系线性性质：（1）(,)d(,)d;DDkfxykfxyσσ=∫∫∫∫（2）[(,)(,)]d(,)d(,)d.DDDfxygxyfxygxyσσσ±=±∫∫∫∫∫∫区域可加性：12(,)d(,)d(,)dDDDfxyfxyfxyσσσ=+∫∫∫∫∫∫.中值定理：设(,)fxy在有界闭区域D上连续，σ为D的面积，则存在(,)Dξη∈，使得2(,)d(,)Dfxyfσξησ=∫∫.二重积分的性质南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系不等式性质：（1）若在D上(,)0fxy≥，则(,)d0Dfxyσ≥∫∫；（2）若在D上(,)(,)fxygxy≥，则(,)d(,)dDDfxygxyσσ≥∫∫∫∫；（3）(,)d(,)dDDfxyfxyσσ≤∫∫∫∫；（4）若在D上(,)mfxyM≤≤，则(,)dDmfxyMσσσ≤≤∫∫.二重积分的性质本节练习P181，第2题南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系例题：（P175例2）设区域D为中心在原点，半径为r的圆域，求极限()22201limcosddxyrDexyxyrπ−→+∫∫.解：由于被积函数在积分区域上连续，因此由积分中值定理，在D上至少存在一点(),ξη，使()()22222cosddcosxyDexyxyerξηξηπ−−+=+∫∫.因为当0r→时，()(),0,0ξη→，则()()222220001limcosddlimcos1xyrDexyxyerξηξηξηπ−−→→→+=+=∫∫.南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系利用直角坐标计算二重积分在直角坐标系下将二重积分转化为二次累次积分.注：（1）根据具体题型选择X−型或者Y−型区域；（2）利用交换积分次序简化计算，或者用来证明相关等式.本节练习P181，第1、3题南京航空航天大学高等数学竞赛培训南京航空航天大学理学院数学系例题：（P175例4）设(),fxy连续，且()(),,ddDfxyxyfuvuv=+∫∫，其中D是由曲线2yx=，直线0y=，1x=所围成的区...
