南京航空航天大学第1页（共2页）二○一七～二○一八学年第1学期课程名称：《工科数学分析》期中考试参考答案及评分标准命题教师：试卷类型：A卷试卷代号：一、填空题（每题4分）1．BC；2．ABC；3.AD；4．AC；5．；6．；7.；8..二、辨析题（每题4分）1解：错误……………………………………………………………………………………(2分)反例：，……………………………………………………(4分)2解：正确……………………………………………………………………………………(2分)理由：若在可导，设，则故在连续……………………………………………………………………(4分)3解：错误……………………………………………………………………………………(2分)反例：，.……………………………………………………………(4分)三、计算题（每题6分）1解：………………(6分)2解：…………………………(3分)………………………………(6分)故3解：，则在区间内的驻点为，………(2分)由于，故最大值，最小值……………………………………………………(6分)4.解：两边求导得，令得，；…………………(3分)两边继续求导得，将代入，可得；将代入，可得故为极大值点，极大值为；故为极小值点，极小值为………(6分)第2页（共2页）5.解：令，则，当时，，此时，方程有一个实根.当时，当时，由于，，故在区间内有一个实根；当时，当时，因此在内的最小值为，故在区间内没有实根；于是当时，方程有一个实根.………………………(3分)当时，当时，由于，，故在区间内有一个实根；当时，当时，故在内的最小值为，因此当，即时，在内没有实根；当，即时，在内有一个实根；当，即时，在内有两个实根；综上可得当时，方程有一个实根；时，方程有两个实根；时，方程有三个实根.……………………………………………………………………………………(6分)三、证明题（前3题每题6分，第4题8分）1.证令，则…………………………………………(2分)令，则，故在单调减少，因此当时，于是当时，，得证.…………………(6分)2.证，故函数在是下凸的.………………………………(2分)因此，即，又，得证…(6分)3.证………………………………(3分)于是，进一步对任意的，.故对，取，当时对任意的成立，根据数列收敛的柯西准则，得收敛.4.证（1）.………………………………………(3分)（2）不妨设在上不恒为零，则存在，使得，显然.由（1）存在介于和之间，使得，由，知.分别令，由可得，.………(6分)从而.………………………………………(8分)
