南京航空航天大学第1页（共4页）二○一三～二○一四学年第一学期《工科数学分析》研讨测试考试日期：2013年12月日内容：导数及其应用班号学号姓名题号一二三四五总分得分一1、已知，求常数.解：由于，知（1）；（2）；（3）；（4）.（10分）注：也可用Taylor展开式2、求极限.解：由于以及，可得.（10分）二、第2页（共3页）1、设在区间上连续，在区间内可导，且，证明存在，使得.证明：对函数在使用Rolle定理（10分）2、设在区间上连续，在区间内可导，且，为任意给定的实数，证明存在，使得.证明：对函数在使用Rolle定理（10分）3、设f(x)在[0,1]上连续，在内可导，且，.试证：（1）存在，使；（2）对于任意实数，比存在，使得.证明：（1）对函数在使用零点定理（5分）（2）对函数在使用Rolle定理（5分）三、1、讨论方程有几个实根解：令，，得令，，得，又在或内单调递减，在内单调递增，（5分）由零点定理和单调性得，是方程的根，在区间内有且仅有一个实根，在和内没有实根，所以方程仅有两个实根.（5分）2、试就的不同取值，讨论方程的实根的个数.解：令，，则在单调递减，内单调递增（5分）因此当时有最小值，于是无实根，一个实根，两个实根（5分）四、第3页（共3页）1、证明不等式.证明：令，则，由得，又，所以在上单调增加。（5分）因此；，这就说明，故对任意，，即原不等式成立.（5分）2、证明：当时，.证明：令，则，且.又，（），（5分）故当时，单调减少，即，则单调增加，于是，即.（5分）五设函数在上二阶可导，并且,求证：存在，使得.证明：应用泰勒公式将分别在，处展开注意到，则有（4分）于是，（4分）即得，其中.（2分）
