南京航空航天大学第1页（共5页）二○一二～二○一三学年第一学期《工科数学分析》期中考试试题考试日期：2012年11月24日试卷类型：A试卷代号：班号学号姓名题号一二三-123456四-12总分得分一、单项选择题：（每题3分）1.已知在内连续，下列说法正确的是（B）A.若存在，则在内存在最大最小值；B.若存在，则在内有界；C.若存在，则在上的值域必为有界闭区间；D.若在内单调有界，则存在.2.若有，则当时该函数在处的微分是(B)A.与等价无穷小；B.与同阶无穷小但不等价；C.比低价无穷小；D.比高价无穷小．3.已知，其中是常数，则（A）A.；B.；C.；D..4.设数列，满足，则（D）A.若收敛，则必收敛；B.若发散，则必发散；C.若无界，则必有界；D.若为无穷小，则必为无穷小．5.已知在内可微，则下列说法不正确的是（C）A.若为奇函数，则为偶函数；B.若为偶函数，则为奇函数；C.若为偶函数，则为奇函数；D.若为奇函数，则为偶函数.本题分数15得分第2页（共6页）二、填空题（每题4分）1.若函数连续，，，则；（1）2.当时，与是等价无穷小，则常数；（）3.设函数由方程所确定，，可导，,,则；（）4．若，则；（）5．，则；（）6．，则.（）三、计算题（每题7分）1．.原式==2．求曲线的渐近线.本题分数24得分本题分数42得分第3页（共6页）3．设，（1）求（要写出其定义域），并讨论的连续性，若有间断点判别其类型.4．曲线（n为正整数）上点处的切线交轴于点，求.第4页（共6页）5．设，求.===6.令将方程化为关于的导数的方程.由可得以及第5页（共6页）四、证明题1．（10分）设（1）证明极限；（2）证明函数在区间上不一致连续.证明：（1）取，则，但是，由Heine定理，这与矛盾，故（5分）（2）取，，则且，但是，这与在区间上一致连续的定义矛盾，故在区间上不一致连续.（5分）本题分数19得分第6页（共6页）2．（9分）已知正数，（1）数列满足，试用Cauchy收敛准则证明收敛；（2）函数在可微，且，证明存在，使得.证明：（1）首先可得：由于，知，当时，，这样，当时，对都有，根据Cauchy收敛准则可知数列收敛.（5分）（2）取，令，则，由（1）可得收敛，设，则有.（4分）
