南京航空航天大学第1页（共5页）二○一一～二○一二学年第一学期《工科数学分析》期中考试试题考试日期：2010年11月日试卷类型：A试卷代号：班号学号姓名题号一二三四总分得分一、填空题：（每小题4分）1.是函数的跳跃间断点；2.极限，则a=4b=1；3.已知，则1；4.；5．设函数可导，则．6．，则．本题分数24得分第2页（共6页）二、填空题：（每小题3分）1．设函数在点处可导，则等于(A)（A）0（B）-1（C）1（D）不存在.2.设数列，满足，则（D）(A)若发散，则必收敛；(B)若无界，则必有界；(C)若为无穷大，则必为无穷小；(D)若为无穷小，则必为无穷小．3.设函数在上有界并且可导，则（D）（A）在上导函数有界；（B）在上一致连续；（C）在的任意有限区间导函数有界.；（D）在的任意有限区间一致连续.4.函数的不可导点的个数为(B)（A）0（B）1（C）2（D）3.三、计算题（第1，2题6分，其余7分）1．.2.已知曲线满足方程确定，求.本题分数40得分本题分数12得分第3页（共6页）3．求曲线于处的切线方程两边对t求导：可得，又，故由于时，，切线方程为：4．讨论函数的连续性，并判断其间断点类型.，在连续，为第一类跳跃间断点5.设数列满足，证明存在，并求该极限.有下界，又，用数学归纳法证明单调递减第4页（共6页）假设，则成立；设两边同时取极限.6.设，试确定常数a,b使f(x)处处可导，并求.；四、证明题（每题8分）1．给出函数在闭区间上连续和可导的定本题分数24得分第5页（共6页）义，并说明函数在上的连续性和可导性.在内连续，在右连续，在左连续，故在上连续；在内可导，在左可导，但是在右导数不存在2．函数在区间上连续并且存在，证明在区间上一致连续；若函数在区间上连续并且有界，在区间上是否一致连续？时，又在区间上连续，故在闭区间上连续，则在闭区间上一致连续，于是时，都有.这样，对上述，，当时，要么，要么，对于前者，已证，对于后者若函数在区间上连续并且有界，在区间上未必一致连续，例如，其在区间上连续有界但不一致连续，分别取第6页（共6页）则，但是3．设函数满足，下述（1）和（2）是不是在点处可微的充要条件，并说明理由（1）存在；（2）存在（1）是充要条件，在点处可微等价于存在，而，由于，存在等价于存在；（2）是必要条件，不是充要条件，例如函数满足（2），但是在处不连续，当然不可微
