第三章多维随机变量及其分布§1二维随机变量在某些实际问题中,往往需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述试验的结果,例如某地区对儿童进行抽查身体,测量被抽儿童的身高H和体重W,这里样本空间S=e}={某地区的全部儿童},而H(e)和W(e)是定义在S上的两个随机变量.二维r.v.定义:设E是一个随机试验,样本空间是S={e},设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v.,由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维r.v.注:二维r.v.(X,Y)的性质不仅与X和Y有关,而且还依赖于这两个r.v.的相互关系.如何描述二维r.v.(X,Y)的统计规律?首先可用分布函数.Δx,y,F(x,y)P{(Xx)(Yy)}P{Xx,Yy}r.v.(X,Y),r.v.XY.对于任意的实数二元函数称为二维的分布函数或称为和的联合分布函数2.二维r.v.(联合)分布函数:1212(2)[xXx;yYy]随机点落在矩形域图的概率为121222122111P{xXx;yYy}F(x,y)-F(x,y)-F(x,y)F(x,y)图2二维r.v.的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函数F(x)的性质类似.若将(X,Y)看成平面上随机点的坐标,则分布函数F(x,y)的值为(X,Y)落在阴影部分的概率(如图1)图13.下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.ijijijijijr.v.(X,Y),(X,Y)r.v.P{Xx,Yy}p,i,j1,2,3,p0,p1,若二维的所有可能取值是有限对或可列多对则称为离散型记则有(一)二维离散型r.v.ijijP{Xx,Yy}p,i,j1,2,3,r.v.(X,Y),r.v.XY.则称为离散型的分布律或和的联合分布律例1.设r.v.X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,r.v.Y则在1~X中等可能地取一整数,试求(X,Y)的分布律.:XY1,2,3,4,(X,Y)(16),解与的可能取值分别为故所有可能取值是有限对最多对数14iP{Xi}P{Yj|Xi},ij,P{Xi,Yj}0,ij.Y123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16Xijijxxyyij(X,Y),:F(x,y)p,xx,yyi,j.若已知的分布律则分布函数可表示为即对一切满足的求和(二)二维连续型r.v.yx--(1):F(x,y)f(u,v)dudv,(X,Y)r.v.,f(x,y)(X,Y),XY.定义若则称为连续型的二维其中非负函数称为的概率密度或称为和的联合概率密度024f(x,y)(x,y),F(x,y)f(x,y);xy若在点点连续则有00--0G(2)f(x,y):1f(x,y)0;2f(x,y)dxdyF(,)1;3Gxoy,(x,y)G:P{(X,Y)G}f(x,y)dxdy.的性质设是平面上的一个区域点落在内的概率为-(2xy)2.r.v.(X,Y)Ae,x0,y0,f(x,y)0,,:(1)A;(2)F(x,y);(3)P{YX}.例设二维具有概率密度其它求常...
