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定义00)(nnnxxa)(为幂级数的系数na收敛半径求法)(0nnnxa幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.收敛区间的半径称为收敛半径.)lim(lim1nnnnnnaaa或若0001R注意收敛区间的端点需要单独考虑。一、幂级数及其收敛区间：的和函数的基本思想是求0nnnxa1）记住几何级数的和：)1(10rraarnn利用幂级数的性质（逐项求导或逐项积分）将所给幂级数化为几何级数求和。2）记住sinx、ln(1+x)、ex等的展开式，利用幂级数的性质（逐项求导或逐项积分）将所给幂级数化为这些展开式求和。二、求和函数S(x)nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)()(!2)("))((')()(00)(200000!)(!2)0(")0(')0()(0)(2nnxnxfxfxffxf（1）弄清函数在哪一点展开；（2）用间接法（3）记住以下函数的展开式：三、函数展开成幂级数,0:0时当特别x)1(),(!1!31!21132xxnxxxenx)2(),()!12()1(!71!51!31sin121753xxnxxxxxnn)3(),()!2()1()!22()1(!61!41!211cos2)22(1642xkxkxxxxxkkkk)4()11()1()1ln(11xnxxnnn)5()11(!)1()2)(1(!2)1(1)1(2xxnnmmmmxmmmxxnm与和函数。的收敛域！求753!78!56342xxxx例1解,)!12(2)1()(1211nnxxsnnn令两边逐项求积分得xnnnxdxnnxdxxs012110)!12(2)1()()'sin()(xxxs故dxnnxdxnnxdxxsxnnnxnnnx01211012110)!12(2)1()!12(2)1()(即),(cossinxxxx),(sinxxx)!12()1()!12()1(1211211nxxnxnnnnnn例2的幂级数。展开为将展开为的幂级数将)1(1ln)2(.arctan2111ln41)()1(xxxxxxxxf解(1)1)'(arctan21)'11(ln41)('xxxxf442111121]1111[41xxxxx1114xxnn)11(14)(')0()(0114140xnxdxxdxxffxfxnnnnx0)0(f对上式两边积分得11414)(nnnxxf)11(x)1ln(ln1lnxxxx)]1(2ln[)]1(1ln[xx解(2)11)1()1()]1(1ln[(nnnnxx]2,0(,111xx即]211ln[2ln)]1(2ln[xx而...