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问题的提出型的微分方程(I))()(xfyn型的微分方程)()(y'x,f'y'型的微分方程)()(y'y,f'y'定义：二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程~~~~~~~~~~从本节起我们讨论高阶微分方程有些高阶方程，可通过变量代换化成较低阶的方程求解本节介绍三种容易降阶的高阶方程的求解方法.个任意常数的表达式含有nycxcdxdxxfycdxxfyxfynnn21)2(1)1()())(()()(型的微分方程一(I)、)()(xfyn解法逐次积分.)(的函数仅是方程右端xxf特点122cos''cxxyxxysin)3(解方程21332sin'cxcxxy322142!4coscxcxcxxy例1解逐次积分),(1cxP解，设其通解：应用前面一阶方程的求yyxf不含方程右端)',(),(')('")('PxfPPdxdPyxPy变为：方程则令211),(),(cdxcxycxdxdy即，型的微分方程二)(、II)(y'x,fy"微分方程的一阶关于变量Px,特点解法的特解满足求3',1,'2")1(:002xxyyxyyx例3解y方程不显含)0(12':'"'2PPxxPPyPy代入得，令1212)1(ln)1ln(lncxPcxP积分得：12)1(cxdxdy即，231)3(cxxcy再积分得：1,321cc代初始条件得：所求特解为：1)3(33xxy.0)4()5(的通解求方程yxy解),()4(xPy设代入原方程,0PPxxCP1解线性方程,得两端积分,得原方程通解为)()5(xPy）（0P,1)4(xCy即,21221CxCy,,2612054233251CxCxCxCxCy54233251dxdxdxdxdy例4),()("'PyfdydPPdydPPdxdydydPdxdPyPy得：代入方程令xyyf不含方程右端)',(),('1cyyP设通解为21),(cxcydy程。阶微分方的一关于变量Py,型的微分方程)(、三II)(y'y,fy"特点解法的通解为：)(的通解求微分方程0'"2yyy例5解x方程不显含dydPPyPy'','令02PdydPyP原方程变为：00PdydPyP，方程成为：若得分离变量后积分：ydyPdP2111lnln'cxcyycyycP再分离变量积分，，即0,0121cecycyPxc之中视的解时是原方程时，xcecy12通解：另解,12y两端同乘不为零因子,0)(22yydxdyyyy,1yCy故从而通解为.12xCeCy小结)()()(xfyn解法类型逐次积分)()',("yxfy),('PyfdydPPPy令)()',(''yyfy),('PxfdxdPPy令