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一阶线性方程1.定义.,'0)(,0)(:均为一次的线性指关于为齐次。非齐次指其中yyxQxQ.)1()0)((),()(称一阶非齐次线性方程——形如：xQxQyxPdxdy）的一阶齐次线性方程称相对于（—）（—120)(yxPdxdy一、线性方程线性方程一阶非22sin,ttxdtdxxydxdy1cos,32yyxyyy.一阶非齐次线性方程dxxPdyy)(1)2()2!)2(,)1(分离变量后，将为可分离变量（的解先来求的解为了求2.解法cdxxPyln)(ln两端积分.)2()3()(的通解方程——dxxPcey0)(yxPdxdyydxxQdxxPydyxyy)()(,)1()(:)1(),1(则的解是设解的形式分析方程考察方程)1()0)((),()(xQxQyxPdxdyydxxQdxxPy)()(ln:两边积分ydxxQdxxPy)()(ln:两边积分)()()()(xceeeydxyxQdxxPdxyxQ记)(,)()1()4(),()3()4()()4()()(xcxcxccxcexcydxxP关键能否解出可求解就方程定出代入将视为待定函数要将任意常数比较，形式相类似，只与为待定函数故常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.)()()())()(()(')()()(xQexcxPexPxcexcdxxPdxxPdxxPcdxexQxcexQxcdxxPdxxP)()()()()()('，积分得即y’(x)y(x)解令方程(1)的解，即)4()()(dxxPexcy,)]()[()(')()(dxxPdxxPexPxcexcy代入原方程和将yy)5())(()()(cdxexQeydxxPdxxP一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解)0)((),()(xQxQyxPdxdyxcy11sin'2xyxyxy求解初值问题：cxydxxdyyxyylnlnln11.0'分离变量的解先求齐次方程cxxcxxcxxcxxcycos)(sin)(')()(''2代入原方程得令用常变易法xxcy1)()cos(1,cxxy故例1解)2cos(1212xxycyx得代入初始条件)sin()5(11cdxexxeydxxdxx直接代公式另解)cos(1cxx例2如图所示，平行于轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.y)(xfy)0(3xxy)(xf,)()(230yxdxxfxxyxydx03,两边求导得,32xyy解解此微分方程xyoxPQ3xy)(xfydxexCeydxdx23,6632xxCex,0|0xy由,6C得所求曲线为).222(32xxeyx23xyyyxdydx...