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基本概念对坐标的曲面积分的定义对坐标的曲面积分的计算概念的引入两类曲面之间的联系观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧一、基本概念n1曲面的分类:(1)双侧曲面;(2)单侧曲面.典型双侧曲面莫比乌斯带(Mobius)典型单侧曲面:轴正向夾角为钝角即法线与朝下的一侧取下侧轴正向夾角为锐角即法线与朝上的一侧取上侧对不封闭znznyxzzi,:,:),()0cos0cos2曲面侧的规定:曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.0cos0cos轴正向夾角为钝角即法线与朝后的一侧取后侧轴正向夾角为锐角即法线与朝前的一侧取前侧xnxnzyxxii,:,:),()轴正向夾角为钝角即法线与朝左的一侧取左侧轴正向夾角为锐角即法线与朝右的一侧取右侧ynynxzyyiii,:,:),()0cos0cos指向内的一侧内侧指向外的一侧外侧对封闭nn:::3曲面的投影问题:面在xoyS,在有向曲面Σ上取一小块.0cos00cos)(0cos)()(时当时当时当xyxyxyS.)(表示投影区域的面积其中xy为上的投影xyS)(曲面SzxyzSSxozyozS)(,)(,面上的投影在同理可定义思考题呢？么什么角？取什么侧？那轴成的法向量与则，取外侧为球面设2222222111zxyozyxzzyx思考题解答此时与oz轴成钝角，取下侧；221yxz而与oy轴成锐角，取右侧;221zxy二、概念的引入实例:流向曲面∑一侧的流量.设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),,(),,(),,(),,(给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP都在Σ上连续,求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量.xyzo无关。与不可压缩：密度无关关，与时间稳定流体的速度与点有tt,)1(,:""体积流量截面的质量流体通过某个指单位时间内流量求面积为且流过平面若),(),,()1(qSczyxv的单位法向量为SnvnqvS投影正柱体体积积为母线方向的斜柱体体以为底以vS,解vnqvSScvnnvXYZO∑iS),,(iiiivin).1(,,),,(:)2(不能直接用曲面各点不同现在的问题zyxvv.,,,取极限来解决求和近似代替用可分割in法向量为把曲面Σ分成n小块is(is同时也代表第i小块曲面的面积),在is上任取一点),,(iii,1.分割iv则该点的流速为XYZO∑iS),,(iiiiviniiiiSnv...