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齐次方程※可化为齐次方程※欧拉方程伯努力方程称原方程为齐次方程形式能写成若)1()(),('xyFdxdyyxfyyxyxy':如xyxyy11'1.概念一、齐次方程定义222'yxxyy221)(2'xyxyy022xyydxdyx1'222xyxyxxyyy),(),(1),(tytxfyxfyxf即次齐次函数是其实方程右端函数2.解法)!,()2(,yuxuxuyuxy就得求出的函数是即令)3(dxduxudxdy.)()1()3(可分离变量方程得代入将uFdxduxuxdxuuFduxdxuuFdu)(:,)(,两边积分分离变量后.)1(,的通解便得齐次方程代再用求出积分后uxyudxduxuudxduxudxduxudxdyuxytan,tan,即代入原方程得，令的解满足求方程6tan':1xyxyxyy例1解，分离变量得，xdxuducot.0,0时即当yu21,61cyx代入通解得将.2sinxxy故特解为xcxysin回代，,sinlnlnsinlnxcucxu两边积分齐次方程1)(222xyxyxxyydxdydxdyxydxdyxy22解方程xyceyceuxu故1lnln1cxuuxdxduuu两边积分得分离变量得111,,222uuuuuudxduxuudxduxudxduxudxdyxyu代入原方程得令例2解的通解求2)(yxdxdy解,uyx令1dxdudxdy代入原方程21udxdu,arctanCxu解得得代回,yxu,)arctan(Cxyx原方程的通解为.)tan(xCxy例3利用变量代换求微分方程的解,也是比较常用的方法，技巧性较强。注1.定义）也是一阶齐次线性方程可分离方程，线性方程称贝努利方程——形如：1;0()4()1,0(,)()(nnnyxQyxPdxdyn2.解法成线性方程但可通过变量代换转化）不是线性方程，分析：虽然方程（4三、伯努利(Bernoulli)方程二、※可化为齐次方程一阶非齐次线性方程——)6()()1()()1(xQnzxPndxdz，恒等变形—）两端得除方程（用)5()()(141xQyxPdxdyyynnn)()(1111xQyxPdxdynnn即）变为则（令),()(115,1xQzxPdxdznzyn))()1(()()1()()1(cdxexQnezdxxPndxxPn）（—解“”回代得原方程的通7))()1(()()1()()1(1cdxexQneydxxPndxxPnn的通解为)6(xydxdyxyyyy2212'222变形为：得将方程两端乘以利方程已知该微分方程是贝努通解求yxyy2'),4(42',221222dxxecezxzzxzdxdzzydxdx解方程得，即令例412)4(""2222xcedxxeceyxxx得回代解.42的通解求方程yxyxdxdy,412xyxdxdyy,yz令,422xzxdxdz,22Cxxz解得.224Cxxy即解，得两端除以y例5,422xyxdxyd小结2.伯努利方程;1zyn令)1,0(,)()(nyxQyxPdxdyn一阶非齐次线性方程—)()1()()1(xQnzxPndxdz齐次方程).(xyFdxdy.xyu令1.二、※欧拉方程