南京航空航天大学第1页（共3页）二○一四～二○一五学年第一学期课程名称：《线性代数》参考答案及评分标准命题教师：线代课题组试卷类型：试卷代号：一、填空（每空2分，共28分）1．；，。2．；。3．；。4．；。5．；。6．；。7．；不是。二、计算题(32分)1．-------（4分）=-----（8分）2．由原式可得---（3分）---（4分），----（7分）----------（8分）3．A第2页（共3页）AA----------（6分）故所求的矩阵为------------（8分）4．1）由可得-----（3分）解得--------（4分）。，所以--------（6分），所以只有一个线性无关的特征向量，不能与对角形矩阵相似----------（8分）三、1.----------（3分）一般解为：------（5分）-------------（7分）通解为：（为任意常数）。-----------（8分）2.将代入（II）每一个方程得--------（11分）此时，也是（II）的导出组的解且，所以也是(II)的通解。综上所述，所求的值即为所求。----------（12分）第3页（共3页）四、1．------------------（2分）2．，所以----------（4分）对于可得，标准化得特征向量，---------（7分）对于，可得，标准化得---------（9分）令正交矩阵，则---------（11分）令正交变换，在此变换下，二次型化为标准形-----（13分）五、证明题1．由原式可得------（3分）所以可逆，且-----------（5分）2．（1）因为，所以为对称矩阵。-----（3分）（2）由可得（），由于为实矩阵，所以，，。即-----（5分）3．不是的特征向量。假设为的属于的特征向量，则----（3分）由此可得，由于为属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，又，所以与题意矛盾，所以假设不成立。---（5分）
