南京航空航天大学第1页（共6页）二○○八～二○○九学年第一学期《线性代数》考试试题考试日期：2008年11月19日试卷类型：A卷试卷代号：班号学号姓名题号一二三四五六七八九十总分得分一（）填空分3284=×1．四阶行列式展开式中有一项为，此项ijaD=42132431aaaa前面应带的符号为。该展开式的各项中所带符号为负的共有项。2．设矩阵，则，。⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=101121ATAA=()TrAA=3．若为3阶方阵，且是A的特征值，为的伴随矩阵，则A1,1,221−===λλA*AA，。=*A=−AA2*4.设为3阶矩阵，且2，将按列分块为，则行列式A=AA)(321ααα=A。=++−2312132ααααα5.为矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充要条件是，当A34×0AX=2时，它的基础解系中应该含有个解向量。()rA=6．为矩阵，则矩阵的列向量组线性关，且一定为A65×AAT=λAAT的一个特征值。7．。=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛20090010101000030323218．设三阶矩阵的特征值为2，3,。若，则二次型Aλ242−=AAXXxxxfT=)(321的规范形为,其符号差为。本题分数32得分第2页（共6页）二（）计算题（要求写出计算过程）分2847=×1、计算行列式。)4,3,2,1,0(43214321432143214321=≠++++=ixxxxxDi2、设三阶矩阵，且矩阵满足，求矩阵。⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=001100010AB1*−+=ABATB本题分数28得分第3页（共6页）3、设，，，，且()T1221=α()T31232−=αT)128(3−=α()T41224=α，求向量组的一个极大线性无关组以及矩阵()4321αααα=A4321,,,ααααA的秩。4、设三阶矩阵,求可逆矩阵使得相似于某一对角形矩⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=242422221A1−UU及A阵。第4页（共6页）三（12121212分）设线性方程组为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−243210202152323211λλxxxx（1）讨论当取何值时，方程组无解；λ（2）当取何值时方程有解，并求出通解。λ本题分数12得分第5页（共6页）四（13131313分）设某二次型的表达式为：，323121232221321844552),,(xxxxxxxxxxxxf−−+++=（1）写出此二次型的矩阵。A（2）用正交变换法将此二次型化为标准形，并写出所做的正交变换以及二次TYX=型的标准形。本题分数13得分第6页（共6页）五（）证明题分1535=×1、设为阶正交矩阵，若，证明：矩阵A必有特An0
