2011－2012(2)A答案.docVIP免费

南京航空航天大学第1页（共4页）二○一一～二○一二学年第二学期课程名称：《线性代数》参考答案及评分标准命题教师：线代课程组试卷类型：A卷试卷代号：一、填空（每空2分，共32分）1、不是；不是。2、；。3、；。4、3；，，。5、；。6、1；。7、－4；。8、0，，－1；。二、计算题1、--（3分）--------------（5分）-----------------（7分）2、解：原式化简，得，所以--（2分）------（4分）第2页（共4页）--（7分）3、AAA----------（6分）故所求的矩阵为-----------------------（7分）4．解：因为，即---------（2分）所以-----------（4分）又，---------（6分）对于时，，所以只有一个线性无关的特征向量，不能与对角形矩阵相似。-------------------（7分）三、--------（3分）故时，方程组有解---------（5分）当时，，方程组有无穷多个解，------------（7分）方程组的一般解为：，得一个特解，-------（9分）导出组的一个基础解系为-------（11分）方程组的通解为，其中为任意常数------------（12分）四、解：1、---------------（2分）第3页（共4页）2、所以，-------（5分）时，得标准正交向量-----------（9分）时，得---------------（11分）令正交矩阵，则，上述正交矩阵T所得正交变换即为所求-----------（13分）五、证明题1、证明：由条件知也为实对称矩阵，。-------（3分）从而，-------（5分）2、证明由ABBAABABTTT知,AB为实对称矩阵。------（1分）设为AB的特征值，从而存在非零实向量ξ满足ξABξ。于是BξξξBξBξABξTTT。------（3分）由于BA,都是正定的，且0Bξ，故0BξABξT，0BξξT，从而0。由于AB的特征值都是正数，故AB也正定。------（5分）3、由条件知，，可逆。------（2分）于是可逆，且，------（4分）第4页（共4页）则。------（5分）