南京航空航天大学第1页（共6页）二○一三～二○一四学年第二学期《工科数学分析》研讨测试考试日期：2014年6月日内容：多元函数积分学及其应用班号学号姓名题号一二三四五总分得分专题一：二重积分的计算(测试题16分，每题4分)(1)直角坐标系(选择适当的积分次序)；(2)极坐标系；(3)利用对称性化简.1.改变下列二次积分的积分次序：.解:原式=-------(4分)2.计算二次积分.解:原式=-------(2分)=------(4分)3.计算积分，其中.解:利用对称性化简及极坐标系下计算原式=-----(2分)=-----(4分)4.计算，其中由，和所围成，是本题分数16得分第2页（共6页）上的连续函数.解:利用对称性化简及极坐标系下计算，其中由与围成，是内关于轴对称的部分则原式=----(2分)=-----(4分)专题二：三重积分的计算(测试题14分，第一题6分，第二题8分).(1)直角坐标系（先一后二与截面法）；(2)柱坐标系；(3)球坐标系；(4)利用对称性化简.1.计算三重积分，其中.解:利用截面法计算-----(3分)=-----(6分)2.设是由曲面和曲面所围成的区域，试将三重积分：(1)化为直角坐标系下的三次积分；(2)化为柱坐标系下的三次积分；(3)化为球坐标系下的三次积分；(4)计算三重积分.解:(1)在直角坐标系下-----(2分)(2)在柱坐标系下----(4分)(3)在球坐标系下--(6分)(4)利用对称性化简及选取柱坐标系计算---(8分)专题三：曲线积分的计算及应用(测试题14分，每题7分)本题分数14得分第3页（共6页）(1)第一型曲线积分；(2)第二型曲线积分.1.设,求曲线积分.解:利用对称性先化简再计算=---(5分)=---(7分)2.计算曲线积分,其中为曲线上从对应于的点到对应于的点的一段有向曲线弧.解:，其中，---(3分)原式==--(5分)=---(7分)专题四：曲面积分的计算及应用(测试题12分，每题6分)（1）第一型曲面积分；(2)第二型曲面积分.1.求锥面在圆柱体内的面积.解:由知道，因此；.…(2分)所求锥面在xoy面上投影为，……….…(4分)因此所求锥面的面积为……(6分)2.设为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧，计算本题分数14得分本题分数12得分第4页（共6页）..解:.…(2分)利用两类曲面积分的联系….…(4分)=……(6分)专题五：格林公式及其应用(测试题20分，每题5分)(1)格林公式；(2)曲线积分与路径无关；（3）原函数.1.设.解:先化简.…(2分)用格林公式得.…(5分)2.计算曲线积分，其中为曲线上从到的一段有向弧.解:连接有向线段使构成闭曲线,所围区域则…..…(2分)用格林公式得，…………………(4分)…………(5分)本题分数2...
