南京航空航天大学第1页（共4页）二○一一～二○一二学年第二学期课程名称：《线性代数》参考答案及评分标准命题教师：线代课程组试卷类型：B卷试卷代号：一、填空（每空2分，共32分）1、；2、；3、有个线性无关的特征向量；4、4；05、2；1，i6、；7、；8、；二、计算题1、解：-------3分---------------7分2、解：由可得，------------4分---------7分第2页（共4页）3、解：AAA----------（6分）故所求的矩阵为-----------------------（7分）4、解：因为-------------2分所以时，，由有三个线性无关的特征向量可知------------------5分由矩阵有三个线性无关的特征向量可知---------7分三、解：---------------3分所以时，方程组有解------------------------4分方程组为，则一般解为----------7分方程组特解为：----------8分导出组的一个基础解系为，-------------10分第3页（共4页）所以方程组的通解为：，为任意常数------------------12分四、1、------------------2分2、，所以----------5分对于可得两个线性无关的特征向量，施密特正交化可得两个标准正交的特征向量，------9分对于，可得，标准化得---------11分令，则在下，二次型化为--------13分五、证明题1、证明：因为------------------1分所以---------2分------------4分。------------------5分2、证明：因为为实对称矩阵，所以存在可逆矩阵，使得即，所以，为正交矩阵。----------------------5分第4页（共4页）3、由条件知，，可逆。------（2分）于是可逆，且，------（4分）则与合同。------（5分）
