南京航空航天大学第1页（共8页）二○一五～二○一六学年第二学期《工科数学分析》研讨测试考试日期：2016年4月16日内容：空间解析几何、多元函数微分学及应用班号学号姓名题号专题一专题二专题三专题四专题五专题六总分得分专题一：平面与直线（每题5分,共10分）1.求过点(2,1,4)−且与两直线1132:,121xyzL−+−==−221:121xyzL−−==−−确定的平面平行的平面方程.2.求两直线1123:101xyzL−−−==−和221:211xyzL+−==的公垂线L的方程.本题分数10得分第2页（共8页）专题二：曲面与空间曲线（每题4分,共12分）本题分数12得分1.求曲线2222(2)4,(2)4xzxy+−=−+=在yoz平面上的投影曲线方程.2.将曲线224936,0xyz⎧−=⎨=⎩分别绕x轴和y轴旋转一周，求旋转曲面的方程.3.设一球面与两平面223,228xyzxyz−+=+−=都相切，且球心在直线20,30xyxz−=−=上，求该球面方程.第3页（共8页）专题三：多元函数的极限、连续性、偏导数和可微的概念（每题8分,共16分）本题分数16得分1.证明221sin,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyfxyxyxy⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在点(0,0)处连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)处不连续，而(,)fxy在点(0,0)处可微.第4页（共8页）2.证明：1(,)1fxyxy=−在D:[0,1)[0,1)×内连续，但非一致连续.专题四：极限、偏导数、方向导数和全微分计算题（共27分）本题分数27得分1.计算极限222200()limxyxyxy→→+.(本题4分）2.求下列函数的偏导数.(本题每小题6分，共12分）（1）已知xyyzx⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，求zx∂∂，zy∂∂.第5页（共8页）（2）设(,)()xyzfxygyx=+，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶导数，求2zxy∂∂∂.3.求222()ufaxbycz=++的全微分，其中,,abc是常数.（本题5分）4.设函数23332,4uxyyzzvxyz=−+=−，求u在点(1,1,1)P−处沿该处v的梯度方向的方向导数.（本题6分）第6页（共8页）专题五：多元函数的Taylor展式与极值（共13分）本题分数13得分1.求函数22sin()uxy=+在(0,0)的四阶Taylor公式.（本题5分）2.设(,,)lnln3lnfxyzxyz=++，点(,,)xyz在第一卦限的球面22225xyzr++=上.（1）求(,,)fxyz的最大值；（2）证明：对任意正数,,abc，有不等式53275abcabc++⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠.（本题8分）第7页（共8页）专题六：多元函数微分学在几何上的应用（共22分）本题分数22得分1.求曲线22222:32210,4220Lxyzxyzyz+−−=++−−+=上点(1,1,2)处的切线方程.（本题5分）2.求λ的值，使曲面xyzλ=与椭球面2222221xyzabc++=在第一卦限内相切，并求出在切点处两曲面的公共切平面方程.（本题6分）第8页（共8页）3.求曲线23()3xyxtdt−=−∫的全长.（本题5分）4.求圆柱螺旋线(cos,sin,)aabθθθ=r的曲率,并证明其上任一点的切线与zo轴交成定角.（本题6分）
