南京航空航天大学第1页（共4页）二○一三～二○一四学年第二学期《工科数学分析》研讨测试考试日期：2014年3月日内容：级数、解析几何班号学号姓名题号一二三四五总分得分专题一：数项级数的敛散性(测试题16分，每题8分)(1)正项级数的敛散性判定;(2)绝对收敛与条件收敛;(3)数项级数敛散性证明.1.讨论下列级数的敛散性，若为变号级数收敛请指出它是条件收敛还是绝对收敛：(1)；(2)解:(1),级数发散----------(4分)；(2)设,则，所以单调减则单调减，且，由莱布尼兹准则知级数收敛------(2分)而，这说明同敛散，则级数条件收敛------(4分)本题分数30得分第2页（共9页）2.设级数收敛,且.求证:级数收敛,且.证：记,由级数收敛知存在------(3分)因为级数的部分和-----(6分)于是由知----(8分)专题二：幂级数及其应用(测试题18分，每题6分).(1)阿贝尔(Abel)定理;(2)幂级数的收敛域与和函数;(3)幂级数展开.1.已知幂级数在处收敛，在处发散，求幂级数的收敛域.解:记，则由条件知在处收敛，在处发散------(3分)从而得的收敛域为------(6分)本题分数30得分第3页（共9页）2.求的收敛域及和函数.解:记，则，知收敛域为-----(2分)-----(4分)其中则-----(6分)3.将展开成的幂级数.解:------(3分)-----(6分)第4页（共9页）专题三：傅里叶级数展开及应用(测试题14分，每题7分)(1)狄里克雷(Dirichlet)定理;(2)正弦级数和余弦级数;(3)求数项级数的和.1.设函数在上展开为傅里叶级数，求该傅里叶级数的和函数.解:根据狄里克雷(Dirichlet)定理得和函数----------------------------(6分)2.将展开成余弦级数,并求数项级数的和.解:将偶延拓：-------------(2分)则从而-------------(4分)本题分数30得分第5页（共9页）当时，，从而..专题四：空间向量的知识(测试题20分，每题5分)（1）向量的坐标;(2)向量的运算;(3)向量的夹角；(4)向量法证明.1.已知两点和,求向量的三个方向角以及与同方向的单位向量.解:三个方向角为-----------(3分)单位向量.--------(5分)2.已知.解:-------(5分)3.求直线与平面的夹角.解:夹角为.--------(5分)本题分数20得分第6页（共9页）4.利用向量证明：三角形三中线长度的平方和等于三边长度平方和的.证:三边向量为，则三中线向量为又，则，由此得故…--------(5分)专题五：点、直线与平面(测试题20分，每题5分)(1)点到平面的距离公式；(2)点到直线的距离公式；（3）求平面方程；（4）求直线方程.1.求点到平面的距离.解:距离.-------(5分)2.求点到直线的距...
