4 多元函数的Taylor公式与极值问题-1.pptVIP免费

20078年月南京航空航天大学理学院数学系1多元函数的Taylor公式与极值问题中值定理与Taylor公式极值最小二乘法20078年月南京航空航天大学理学院数学系2一、中值定理和泰勒公式二元函数的中值定理和泰勒公式,与一元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿,对于(2)nn元函数也有相同的公式，只是形式上更复杂一些．20078年月南京航空航天大学理学院数学系3拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f(x)（1）在闭区间],[ba上连续；（2）在开区间),(ba内可导,则在),(ba内至少有一点)(ba，使等式))(()()('abfafbf成立.20078年月南京航空航天大学理学院数学系4先介绍凸区域若区域D上任意两点的连线都含于D,则称D为凸区域(如后图).这就是说,若D为凸区域，则对任意两点111222(,),(,),PxyPxyD和一切(01),恒有121121((),()).PxxxyyyD二元函数的中值定理:凸1P2PPDD非凸PD1P2PD20078年月南京航空航天大学理学院数学系5上连续,在D的所有内点都可微,则对D内任意两点(,),(,)int,(01),PabQahbkD使得定理1(中值定理)设(,)fxy2RD在凸区域(,)(,)(,)(,).xyfahbkfabfahbkhfahbkk(1)20078年月南京航空航天大学理学院数学系6证令()(,)tfathbtk,它是定义在[0,1]上的一元连续函数,且在(0,1)内可微.根据一元函数(1)(0)(),(2)其中中值定理，(01)，使得()(,)(,).xyfahbkhfahbkk(3)20078年月南京航空航天大学理学院数学系7由于D为凸区域，因此(,)ahbkD，故由(3)两式即得所要证明的(1)式．公式(1)也称为二元函数(在凸域上)的中值公式.推论若函数f在区域D上存在偏导数，且0,xyff则f在区域D上为常量函数．注:在凸闭域上中值定理也成立。20078年月南京航空航天大学理学院数学系820000000()00(1)10()()()()()2!()()!()()(,)(1)(,)()()()((..)(1).!...)nnnnnnfxxabnxabfxRxRxxxfxfxfxxxxxfxxxnfxxn设在含有在内的某个区间内具有直到阶导数，则当时，有（4）其中（5）定理5.20()fxxn公式（5）称为.公式（4）称为在点lagrange余项带lagrange余项Tayl处的阶or公式。复习20078年月南京航空航天大学理学院数学系9f000(,)Pxy的某邻域定理2(泰勒定理)若在点内任一点00(,),(0,1),xhyk使得0()UP0()UP内有直到阶的连续偏导数,则对1n000000(,)(,)(,)fxhykfx...