南京航空航天大学第1页（共6页）二○一四～二○一五学年第一学期《线性代数》考试试题考试日期：2015年1月3日试卷类型：B试卷代号：班号学号姓名题号一二三四五总分得分一、填空（2分×14=28分）1.向量组，，，当时，，此时的一个极大无关组为。2.三阶矩阵的行列式，矩阵的行列式，则，。3.实数域上线性空间的一组基为，维数为。4.设为矩阵，则非齐次线性方程组有解的充分必要条件为；当时，它的导出组的一个基础解系中应含有个解向量。5.三阶矩阵，，则初等矩阵使，若矩阵，则矩阵。6．三阶矩阵，是不可逆矩阵，且（为三维非零向量），则的特征值为，行列式。（其中是的伴随矩阵）7．实对称矩阵与相似，则二次型的规范形为，此二次型（填“是”或者“不是”）正定二次型。二、计算题（要求写出主要计算过程）（8分×4=32分）本题分数28得分本题分数32得分第2页（共6页）1．计算行列式值。2．矩阵，满足；求矩阵。3、设上的线性变换A使得A，求A在基，，下的矩阵。第3页（共6页）4．已知是矩阵的一个特征向量。1.确定参数及特征向量所对应的特征值。2.问能否与对角形矩阵相似，说明理由。三、（12分）已知下列非齐次线性方程组（I），（II）（I）（II）1.求线性方程组（I）的通解。2.当线性方程组（II）中参数取何值时，方程组（I）与（II）同解。本题分数12得分第4页（共6页）四、（13分）二次型1．写出此二次型的系数矩阵；2．用正交变换将二次型化为标准形，并写出正交变换及二次型的标准形。本题分数13得分第5页（共6页）五（）证明题1．设矩阵满足，证明：矩阵可逆，并求。2．设为任意阶矩阵，证明：（1）为对称矩阵；（2）若为实矩阵，，本题分数15得分第6页（共6页）则。3．设为矩阵的属于不同特征值的特征向量，若，问：是不是的特征向量，说明理由。
