南京航空航天大学第1页（共6页）二○一四～二○一五学年第一学期《线性代数》考试试题考试日期：2015年1月3日试卷类型：A试卷代号：班号学号姓名题号一二三四五总分得分一、填空（2分×14=28分）1.设向量组，，，则，写出的一个极大无关组。2.若为3阶方阵，且是A的特征值，为的伴随矩阵，则，。3.实数域上线性空间的一组基为，维数为。4.设为3阶矩阵，且2，将按列分块为，则行列式，。5.三阶矩阵，，则初等矩阵使，若矩阵，则矩阵。6．三阶实对称矩阵，是不可逆矩阵，且（为三维非零向量），则的特征值为，行列式。7．实对称矩阵与相似，则二次型的规范形为，此二次型（填“是”或者“不是”）正定二次型。本题分数28得分第2页（共6页）二、计算题（要求写出主要计算过程）（8分×4=32分）1．计算行列式值。2．已知三阶矩阵，求矩阵，使得满足矩阵方程。3、设线性空间上的线性变换A使得A，求A在基下的矩阵。本题分数32得分第3页（共6页）4．设3阶矩阵，判断是否能与对角形矩阵相似。第4页（共6页）三、（12分）已知下列非齐次线性方程组（I），（II）（I）（II）1.求线性方程组（I）的通解。2.当线性方程组（II）中参数取何值时，方程组（I）与（II）同解。本题分数12得分第5页（共6页）四、（13分）二次型1．写出此二次型的系数矩阵；2．用正交变换将二次型化为标准形，并写出正交变换及二次型的标准形。本题分数13得分第6页（共6页）五（）证明题1．设矩阵满足，证明：。2．设为阶实对称矩阵，且，证明：。3．设是三阶非零矩阵，为元素的代数余子式，且满足，则的行列式等于。本题分数15得分
